圆与圆的综合题（上）

“与圆有关的综合题”系列一经推出，受到了不少“造粉”的喜爱，大脸兔在QQ以及“学苑创造杂志”的微信公众号后台都收到了同学们的热烈反馈，希望还能继续推出这系列的文章。所以大脸兔再次邀请甘晓云老师来为同学们讲解与圆有关的综合题。大家可要认真学习哟。

在初中阶段，圆与圆的综合题不会太难，大致可以分为两类：一是求面积（这类题目大多与弧的知识相关）；二是求（证明）切线（下期讲）.本期先讲解求面积.

一、求面积

这类题仔细观察你就会发现，将图形进行割补往往能凑成我们熟悉的规则图形，再利用规则图形的面积和差就能很快计算出所求部分的面积.

1.如图，在半径为1cm，圆心角为90°的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（ ）.

A.πcm2 B.[23]πcm2 C.[12]cm2 D.[23]cm2

【解析】仔细看图形，不难发现，将阴影部分进行拼凑，会得到一个直角三角形.已知半径，只需要勾股定理求出AB的长度即可.答案C.

【點拨】虽然本题没有涉及扇形、弧长等知识，但是既然出现了这样的图形，我们就一起来复习扇形的相关知识——

一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫扇形（半圆与直径的组合也是扇形）.显然，它是由圆周的一部分与它所对应的圆心角围成。

扇形面积公式：[S扇]=[n360πR2=12lR]，其中n是扇形的圆心角度数，R是扇形的半径，l是扇形的弧长.

2.如图，⊙A与⊙B外切于⊙O的圆心O，⊙O的半径为1，则阴影部分的面积是_____________.

【解析】首先观察图形，阴影部分的面积等于⊙O的面积减去空白部分的面积，但是这个空白部分不是我们熟悉的图形，所以我们必须添加辅助线，让它变成我们熟悉的图形.

连接DF，DB，FB，OB，OD，因为⊙O的半径为1，所以OB=BD=BF=OD=1，即△OBD是等边三角形，则有DF垂直平分OB，交点为G，那么空白部分的面积就是4个相同的ODF的面积.

ODF是个弓形，弓形面积就是扇形面积与圆心角的面积之差.我们只需要求出一个弓形ODF的面积即可.

根据勾股定理，DF=2[（BD2-DG2）]=2[1-14]=[3]

S弓形ODF=S扇形BDF-S△BDF=[n360πR2]-[12]DF×BG=[120π×12360-12×3×12]=[π3-34]

所以S阴影部分=S⊙O[-]4S弓形ODF=[π-4×π3-34=3-π3]

【点拨】本题考查了圆与圆的位置关系以及扇形面积的计算.解题的关键是明确不规则的阴影部分的面积如何转化为规则的几何图形的面积.

3.如图，半径为2cm，圆心角为90°的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（ ）.

A.[π2-1]cm2 B.[π2+1]cm2 C.1cm2 D.[π2]cm2

【解析】阴影部分的面积不是我们熟悉的图形，但是通过观察，可以发现，阴影部分的面积等于扇形AOB的面积减去以OB为直径的半圆，和一个三角形.这个三角形就是通过割补的方式凑出来的，你发现了吗？

建立起了关系，我们添加辅助线即可求解.

如图所示，设以OA，OB为直径作的两个半圆相交于点D，连接OD.

因为扇形OAB的圆心角为90°，半径为2，所以S扇形AOB=[90π×22360=π]（cm2）

以OB为直径的半圆的面积为：[12×π×12=π2]（cm2）

因为三角形AOB是等腰直角三角形，点D是AB的中点，所以过点D做OA的垂线，交OA于点E，则DE=[12]OB=1cm，那么Rt△OAD的面积等于[12]×2×1=1（cm2）.

阴影部分的面积=扇形OAB的面积[-]以OB为直径的半圆的面积[-]Rt△OAD的面积=[π-π2-1=π2-1]（cm2）.

除了这种割补的方法，你还有其他方法吗？试一试吧！

4.如图，把一个斜边长为2且含有30°角的直角三角板ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°到△A1B1C，则在旋转过程中，这个三角板扫过的图形的面积是（ ）.

A.[π] B.[3] C.[3π4+32] D.[11π12+34]

【解析】解题之前必须明确，三角板扫过的图形面积是由以BC为半径的扇形，包含∠BAC的三角形以及以AC为半径的扇形.明确这点之后我们就可以添加辅助线求解了.

如图所示，设点B扫过的路线与AB的交点为D，连接CD.因为BC=DC，且∠B=60°，所以△BCD是等边三角形.

利用勾股定理求出BC=1，AC=[3].因此BD=BC=1.由此推出点D是AB的中点，所以△ACD的面积等于△ABC的面积的一半.

所以S△ACD=[12×1×3=32]，S扇形BCD=[n360πR2]=[60360]π×12=[π6]，S扇形ACA1=[n360πR2]=[90360]π×[3]2=[3π4].

三角板ABC扫过的面积=S扇形ACA1+S扇形BCD+S△ACD=[3π4+π6+32]=[11π12+34]，答案选D.

【点拨】此题不仅考查了旋转的性质，还考查了直角三角形的性质以及等边三角形的性质，同学们要注意掌握旋转前后图形的对应关系.扫过的面积分成两个扇形的面积与一个三角形面积是解题的关键，也是本题的难点.不少同学会想当然认为三角板扫过的图形只有两个扇形，于是求出来的答案会是A.同学们一定要注意审题，避免犯此类错误.

5.如图，在正方形铁皮上剪下一个圆形和扇形，使之恰好围成如图所示的一个圆锥模型.设圆的半径为r，扇形的半径为R，则圆的半径与扇形半径之间的关系为（ ）.

A.R=2r B.R=r C.R=3r D.R=4r

【解析】根据弧长公式l=[nπR180]计算出扇形的弧长=[90πR180]=[12]πR，圆的周长C=2πr；再根据圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长得到[12]πR=2πr，即可得到R与r的关系R=4r.故选B.

【点评】本题除了考查弧长的计算公式，还考查了圆锥的计算，圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的半径等于圆锥的母线长，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长.

6.如图，六边形ABCDEF是正六边形，曲线FK1K2K3K4K5K6K7…叫做“正六边形的渐开线”，其中[FK1]，[K1K2]，[K2K3]，[K3K4]，[K4K5]，[K5K6]，…的圆心依次按点A，B，C，D，E，F循环，其弧长分别记为l1，l2，l3，l4，l5，l6，…当AB=1时，l2011等于（ ）.

A.[2011π2] B.[2011π3] C.[2011π4] D.[2011π6]

【解析】我们先来试着求几个弧长：

l1=[nπR180]=[60π×1180=π3]；l2=[60π×2180]=[2π3]；l3=[60π×3180=3π3]；l4=[60π×4180=4π3]…

按照这个规律，不难推出l2011=[60π×2011180=2011π3]，故答案选B.

【点拨】本题并不難，虽然题目看起来复杂，但实际上就是考查同学们是否对弧长公式了然于胸，只要记得公式，顺势推导就能得出答案.

7.如图，在平面直角坐标系中，点A，B均在函数y=[kx]（k>0，x>0）的图象上，⊙A与x轴相切，⊙B与y轴相切.若点B的坐标为（1，6），⊙A的半径是⊙B的半径的2倍，则点A的坐标为（ ）.

A.（2，2） B.（2，3） C.（3，2） D.[4，32]

【解析】虽然这道题与函数图象相结合，但只要弄清题意就能找到解题思路.函数是未知的，但是函数上的点是已知的，先把B点的坐标带入函数，求出k=6，得出函数的解析式是y=[6x].因为点B的坐标为（1，6），且⊙B与y轴相切，所以⊙B的半径是1，则⊙A的半径是2，把y=2代入函数的解析式y=[6x]，得x=3，则点A的坐标即可求出，为（3，2）.故答案选C.

【点拨】本题主要考查待定系数法求函数的解析式，以及斜线的性质，圆的切线垂直于经过切点的半径的相关知识点.

【举一反三】

1.右图为△ABC与⊙O的重叠情形，其中BC为⊙O之直径，若∠A=70°，[BC]=2，则图中灰色区域的面积为（ ）.

A.[55π360] B.[110π360]

C.[125π360] D.[140π360]

2.如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′，若∠AOB=15°，则∠AOB′的度数是（ ）.

A.25° B.30°

C.35° D.40°

3.如图，AB，CD是两条相互垂直的公路，设计时想在拐弯处用一段圆弧形弯道把它们连接起来（圆弧在A，C两点处分别与道路相切），测得AC=60米，∠ACP=45°.

（1）在图中画出圆弧形弯道的示意图；

（2）求弯道部分的长.（结果保留四个有效数字）.

（答案在本期找）