对两道高考立体几何题的探“变”及教学思考

付增民

在同一年高考的全国卷及各省试卷中，考查相同知识点且背景类似的考题可谓比比皆是，但几乎是一样的试题却出现在两份试卷中，这样的情况则少之又少、颇为罕见.2018年高考数学天津卷理科第11题和江苏卷第10题撞脸成“一家亲”（其实就是同一题），着实让我们对命题者的匠心独具和不谋而合而叹服！在惊叹命题者“心有灵犀”的同时，去探析高考试题的变式，进而在“变”的过程中揭示问题的数学本质.

点评 变式12是一道融空间线面关系、空间角、几何体体积、二次函数、新定义信息等于一体的探索性综合题，背景颇为新颖.它从基本知识出发，形成知识综合点，进而抵达思维制高点（新定义信息、探索性），凸显了立体几何问题的本质.

3 教学思考

1.立体几何是数学的重要内容之一，它在发展学生的空间观念，培养空间想象能力和巩固逻辑思维能力方面有着其它内容所无法替代的独特作用，是历年高考考查的重点.求解多面体的表面积及体积问题，关键是找到其中的特征图形，如棱柱中的矩形，棱锥中的直角三角形，棱台中的直角梯形等，通过这些图形，找到几何元素间的关系，建立未知量与已知量间的关系，进行求解.

2.高考试题大都蕴含着丰富的内涵，如果我们在教学中充分挖掘其潜在的功能，让学生将所学知识进行灵活运用，并开拓思路，从而做到融会贯通，那么就能揭示问题的本质，沟通知识的内在联系，提高解决问题的能力.

3.在高考复习备考中，我们的教學如何指导学生更有针对性、更有效地利用好时间，选择更合理的复习方法和途径，以达到全面提升综合分析问题、解决问题能力的目的，从知识教学层面来说，应指导归纳、梳理每章节所涉及的知识和方法，并将那些零碎的、散乱的知识点串联起来，归纳总结每单元、每章节所涉及知识的纵横联系，构建形成知识网络.而数学解题教学则是复习的重点和核心，通过典型题目的训练，应抓好“变式”和“悟道”两个环节.教学中，变式训练是极为重要的：一是可以把相关的问题集中在一起，形成一个有层次、有梯度、递进生长的题组或题链，学生通过对比和小结，容易发现解决这类问题的规律和方法，有利于揭示问题的本质，比较圆满地掌握这类问题;二是从上面一个问题到下面一个问题，只有局部的变化，符合学生的认知规律，容易引起学生的兴趣，也能够有效地节省教学时间;三是有利于开拓学生的思维和视野，培养学生质疑、多思的学习习惯，使学生形成良好的认知结构.“悟道”即是解题后的反思，反思解题的不同方法——对于一道数学题，由于解题的着眼点和角度的不同，会有许多不同的解题方法，对已解决的典型题目，指导学生应再回过头来从多角度、多方位去思考，寻求更好、更简捷巧妙的解法;反思解题的基本规律——同一类型的问题，其解法往往有其规律性，在解题后要经常地反思并发现归纳知识间的内在联系，挖掘出数学思想与方法，总结概括出解题的基本规律，将问题的结论拓展为一般性的结论用于解决相关问题，等等.唯有如此，学生的数学素养和解题能力才能大幅度提升.