高考二轮复习过程中的思考

函数是高中数学的核心内容，函数的思想方法贯穿高中数学的始终，是历年高考考查的重点和热点.利用函数图象理解和硏究函数的性质，理解指数函数、对数函数的图象和性质.导数的应用是考查的重点，是近年命题的热点，是命题的一种重要载体，命题往往侧重于对函数的单调性和奇偶性、极值、最值的考査，侧重于导数的综合应用，即函数与导数、不等式、方程、数列、解析几何的综合等.下表是从2008年至2018年江苏高考中导数题的考查情况汇总.

通过上表我们可以看出导数作为工具性知识，在高考中愈来愈显重要.函数综合题中，极值点问题常通过“导函数”的正负性解决，零点问题常（在单调的前提下）通过“函数”的正负性解决.而函数的产生，常常是构造出来的，这里超越方程或不等式可以转化为超越函数，类似于二次方程、不等式、函数之间的关系.

函数与方程思想、转化与化归思想是高中数学思想中比较重要的两大思想，而構造函数的解题思路恰好是这两种思想的良好体现，尤其是在导数题型中.在导数小题中构造函数的常见结论：

一、切线问题

二、单调性问题

题型1 求函数的单调区间.

求含参函数的单调区间的关键是确定分类标准，分类的方法有：（1）在求极值点的过程中，未知数的系数与0的关系不定而引起的分类;（2）在求极值点的过程中，有无极值点引起的分类（涉及到二次方程问题时，判别式与0的大小关系不定）;（3）在求极值点的过程中，极值点的大小关系不定而引起的分类;（4）在求极值点的过程中，极值点与区间的相对位置关系不定而引起分类等.注意分类时必须从同一标准出发，做到不重复，不遗漏.

三、极值、最值问题

题型1 求函数极值、最值.

基本思路：定义域——疑似极值点——单调区间——极值——最值

通过上述热点题型的分析，我们发现导数这部分自身的知识难度不大，但是其应用能力及与其他知识的综合能力要求较高，正是由于导数的引入，对函数的考查已不再拘泥于低次多项式函数、简单的指数函数、对数函数等，研究函数的目标也不再局限于定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等内容，而是把高次多项式函数、分式函数、指数型函数、对数型函数以及基本初等函数的和差积商更多地作为考查对象，试题的命题往往融函数、导数、不等式、方程、甚至数列、解析几何等知识于一体，通过演绎、证明、运算、推理等理性思维，来解决单调性、极值、最值、切线、方程的根的分布、不等式的求解和证明、参数的范围等问题.试题往往难度大，综合性强，内容、背景、方法上颇为新颖，备受命题者青睐.

基于以上思考，我认为涉及到函数与导数的问题时，要养成做题就画图的习惯，复杂问题一画图，眉目就清晰，灵感顿生，即“复杂问题，一画就灵”;同时要学会总结，善于总结，熟练掌握基本套路，尤其是“通性通法”：①切线问题抓住“切点”不放;②方程根（零点）个数问题离不开“图象”;③导数问题，函数“单调性”是主旋律，抓住了这个根本，所有问题就迎刃而解;④不等式有关的范围以及证明不等式问题，构造函数（分离构造，取差构造）是首选，抓住最值是关键，即理清思路，顺藤摸瓜，直达本质.

（作者：钱德秦，江苏省泰兴市第四高级中学）