理解复数定义，求解轨迹问题

林光勇

如何利用复数几何意义求有关点的轨迹等问题呢？首先要理解复数的定义z=a+bi，理解i2=-1，然后理解复平面，知道复数z=有序实数对点Z（a，b）的关系．这为讨论复数建立了数学模型，也为用数形结合求解有关复数问题提供了依据；最后，要理解复数模的意义，因为复数的几何图形基本都是由模联系起来的．

一、一一对应要厘清

例1在复平面内，复数6+5i，-2+3i对应的点分别为A，B．若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是________．

解析利用复数与复平面上的点间的一一对应关系，可知点A（6，5），B（-2，3），于是可以设AB中点C（x，y），在平面直角坐标系中由中点坐标公式得，即C（2，4），所以点C对应的复数为2+4i．

解题感悟看到复平面要想到初中已学习过的平面直角坐标系，理解复数与复平面上的点是一一对应的关系．具体怎么对应法？复数z=a+bi在复平面内的对应点坐标为（a，b），要注意，比如复数2-3i对应的复平面内的点的坐标为（2，-3），而不是（2，3）．先将复数对应到平面上的点，利用解析几何有关知识求解，然后再将求得的点坐标返回对应到复数．

二、轨迹问题实数化

例2复数满足|z-1︱2-︱z+i︱2=4，求复数z在复平面内对应点所表示的曲线．

解析设z=x+yi（x，y∈R），则︱x-1+yi︱2-︱x+（y+1）i︱2=4．

所以复数z在复平面内对应点所表示的轨迹为直线x+y+2=0．

解题感悟首先要将复数问题实数化，设z=x+yi（x，y∈R）代入化简是最扎实可靠的方法；其次，“取模”是把复数问题实数化的一种重要手段．

例3满足|z|2-2|z|-3=0的复数z的对应点的轨迹是________．

解析按常理设z=x+yi（x，y∈R）代入化简，效果不理想．

回头再看看，复数z满足|z|2-2|z|-3=0，若是把|z|看成一个整体，那么这便是一个关于|z|的一元二次方程．

分解因式得（|z|-3）（|z|+1）=0，解得|z|=3或|z|=-1（舍）．

它表示以原点为中心，半径为3的圆．

解题感悟复数问题的实数化是解决复数问题的最基本也是最重要的思想方法，其依据是复数相等的充要条件和复数的模的运算及性质．

三、数形结合是工具

例4已知z∈C，且︱z-（4-5i）︱=1，求︱z+i︱的最大值和最小值．

解通过观察发现：其实︱z-（4-5i）︱=1表示Z对应的点表示的曲线是以Z0（4，-5）为圆心，1为半径的圆，︱z+i︱表示Z与Z1（0，-1）两点的距离．

图1

解题感悟本例解法采用了数形结合的思想方法，直观简单，但要特别注意︱z+i︱的意义，容易被误认为是Z与Z1（0，1）两点的距离．此类问题一般类型是：设复数Z满足︱z-z0︱=r，求d=︱z-z′︱的最值．连结过Z0，Z′两点的直线交圆︱z-z0︱=r于两点，两点的距离即为所求的d，其中dmax=︱z0-z′︱+r，dmin=︱z0-z′︱-r．

四、向量问题联系紧

例5如图2所示，平行四边形OABC，顶点O，A，C分别表示0，3+2i，-2+4i，试求：

（3）求B点对应的复数．

图2

解题感悟复数加减法的几何意义即为向量的合成与分解；应用其解决与复数有关的轨迹问题来帮助讨论代数问题，也充分体现了数形结合这一重要的思想方法．本题中要注意恰当运用向量的方法，即用共起点表示．

五、解析几何显神威

例6已知z∈C，且︱z+4︱+︱z-4︱=10，求z的轨迹．

图3

突破点|z-z1|+|z-z2|=2a（a＞0且2a＞|z1-z2|）表示以Z1，Z2为焦点，2a为长轴长的椭圆方程．

解设复数z对应的复平面上的点为Z，由于︱z+4︱可看作点Z到定点Z1（-4，0）的距离，而︱z-4︱可看作点Z到Z2（4，0）的距离，故︱z+4︱+︱z-4︱=10表示点Z到两定点间的距离之和为定值10，由解析几何知识得知，z的轨迹是椭圆．

不妨设z=x+yi，因为2a=10，2c=8，由a2+b2=c2，所以b=3，因此椭圆方程为．

本题若用解析几何方法，则必须设z=x+yi，原 式 转 化 为，将左边任一项移项到右边，通过两次两边平方化简，转化为1，从而得到椭圆方程．显然这种方法太繁琐，且这就是学习解析几何时化简椭圆的步骤．将复数问题与已学习的知识联系起来，转化为已学习的内容，从而将未知转化为已知，化繁为简．

本题需要特别注意当2a=|z1-z2|时，是线段，2a＜|z1-z2|时，为空集．所以解题时一定要注意条件的变化．

解题感悟

1．解决复平面上轨迹问题与平面解析几何中的求轨迹问题实质上运用的是相同的方法．

2.复数的几何意义架起了复数与解析几何之间的桥梁，复数问题可以用几何方法解决，几何问题也可以用复数方法解决．如：若复数z的对应点在直线x=1上，则z=1+bi（b∈R）；若复数z的对应点在直线y=x上，则z=a+ai（a∈R），这在利用复数的代数形式解题中能起到简化作用．

3.运用复数的几何定义求轨迹，需要理解复数的几何意义，特别是模的意义，要数形结合，学会和相关的图形意义联系起来，如圆、椭圆、双曲线等．

4.轨迹问题的易错点为轨迹所求的图形有时会不符合题意，要根据条件的要求进行取舍．

如：设动点Z，定点Z1，Z2分别对应于复数z，z1，z2，a＞0，那么双曲线可以表示为：|z-z1|-|z-z2|=±2a（2a＜|z1-z2|），其中z1，z2为对应双曲线的焦点，2a为实轴长（当2a=|z1-z2|时，表示两条射线，即线段Z1Z2的延长线及其反向延长线；当2a＞|z1-z2|时，不表示任何图形）．