教材中几何直观元素及其示例解读

郑大明

[摘 要]数学学科素养进入人们的研究视野以来，几何直观和空间想象力就成为主要关注对象。以北师大版教材为例，通过特征、关系、结构，以及表示数学过程、规律等内容，论述几何直观在教材中的表现形式，帮助教师找出相关的内容来帮助学生发展几何直观和空间想象力。

[关键词]数学素养;几何直观;教材示例

[中图分类号] G623.5[文献标识码] A[文章编号] 1007-9068（2019）08-0012-04

几何直观，是一种重要的形象思维方式，也是学生数学核心素养“空间想象力”的重要组成部分。数学教材采取了多种方式渗透这样的思维方式。为了帮助教师更好地把握教材中的这一特点，现以北师大版新世纪《数学》教科书为例予以说明。

一、概念及意义

在弄清楚几何直观之前，先说说什么是几何。

几何，是一个外来词。希腊语“geo”，英文为“Geometry”，原指古埃及人丈量土地的学问。明代徐光启与意大利传教士利玛窦翻译西方的关于形的刻画的数学时，使用了近音译的“几何”一词。英文词汇“Geometry”有“几何”与“多少”的叠加意思，把希腊语本来指刻画物体的形状方面的意思加入了数量的意义，与中国古代的“象形学”和越南的“形学”一词非常接近。因此，几何学就是指研究事物的空间结构及性质的一门学科。

综上，几何学，就是指以点、线、面、体等符号化的形符刻画事物的位置与距离的学问。就像“数”是数出来的一样，“形”就是画出来的。由此可知，代数学就是用1、2、3、4、a、b、c、d等符号化的声符表示事物或者现象的大小与多少的学问。

直观，通常是指一种看得见、摸得着的感知方式。几何直观，就是指人们用点、线、面、体等看得见的符号或者模型刻画一些非可视化的现象或者事物之间的关系、规律等的思维方式。它的更上位的思维方式就是数形结合思想。由数到形的思考，叫几何直观;由形到数的思考，叫数感意识。

二、实例与解读

无论哪一种版本的教材，都会或多或少地使用几何直观的思维方式，引导学生思考事物的特征、事物之间的数量关系以及变化的规律等。

1.表示特征

所谓特征，是指事物本来的、独有的样子或状态。比如下雨和起雾，雨和雾虽然与水有关，但是特征就不完全一样。这很像长方形和正方形的概念。

在数学上，事物的量的变化特征非常隐晦，学生不容易体会到，但借助几何直观，就比较利于学生观察与发现。

北师大版教材六年级下册 “正比例和反比例”的第一节课“变化的量”（如图1），就通过曲线图反映了妙想6岁前的年龄与体重变化的特征和骆驼两天内的体温变化特征。将一种不好琢磨的数据变化特征转化为形态变化特征，利于学生观察、比较、发现、判断和预测。

2.表示关系

所谓关系，是指人或事物之间的相互联系，反映它们之间的相互作用、相互影响的状态。但数量关系本身就比较抽象，特别是低年级学生的想象力不够，往往很难理解数与数之间、量与量之间的关系。而恰当使用几何直观，就能非常巧妙地化解这一难题。

北师大版教材六年级上册 “比的认识”的第一节课“生活中的比”（如图2），就是利用图片中长方形“长与宽”的变化对比，引导学生理解长与宽的对应变化关系。

北师大版教材二年级上册 “除法”的第五节课“快乐的动物”（如图3），就是利用画圆圈组合的方式，引导学生用圈图法理解小鸭、小猴等动物只数之间对应的倍数关系。

小猴有3只，用3个○表示;圈在一起，作为一个计数单位，即单位“1”。

小鸭有6只，用6个○表示;与小猴的只数对应相比，有两个计数单位，即两个单位“1”，于是就可以说：“小鸭只数是小猴只数的2倍”，算式：6÷3=2。其余的动物只数之间的关系以此类推得出相应的倍数关系。

3.表示结构

所谓结构，是指事物的组成中，整体的各部分的搭配和安排的方式或状态。小学数学中包含了大量的知识结构与数量关系结构，但都比较抽象，学生很难认知和感受。因此，教材借助几何直观的思维方式，可以大大解决学生对于抽象数学结构的认知困难。

北师大版教材四年级上册 “生活中的大数”的第一节课“数一数”（如图4）中，为了让学生建立大数的计数单位（数数标准）以及各计数单位之间的进率关系，教材采用三维图形及小正方体堆积的图形，让学生直观体会“个”“十”“百”“千”“万”“十万”“百万”的含义，同时理解这些单位的内部结构和相互之间的关系，从而记住这些计数单位及其相邻单位之间、相隔单位之间的进率。

北师大版教材五年级上册 “分数”的第二节课“分数的再认识（二）”（如图5）中，关于一个非常抽象的概念“分数单位”，教材借助“分数墙”，采用同样长的长方形格子，以“1”、2个“二分之一”、3个“三分之一”等值的直条，显示出二分之一、三分之一等分数单位与“1”的组成关系，将分数的内部结构规律直观地表示出来，非常利于学生的认识和理解。

4.表示过程

所谓过程，是指事物发展所经过的程序，在质量管理学中定义为“将输入转化为输出的一组活动”。对于小学数学的很多程序性知识，只是使用概念和命题的形式来陈述的话，非常不利于学生理解，特别是低年级学生。因此，教材借助几何直观，大大减轻了学生的记忆和理解负担。

北师大版教材一年级下册 “加与减（一）”的第二节课“捉迷藏”中（如图6），为了让学生体会“13-8”的过程，教材除了安排用数小棒来体会计算过程以外，还特地使用数线图，利用“数格子”和“反向标箭头”等方式，让学生体会比数小棒更抽象的数线段上的“13-8”的过程。这样，学生更能直观地记住退位减法的计算过程。

北师大版教材五年级下册 “分数除法”的第一节课“分数除法（一）”中（如图7），为了说明清楚“七分之四除以二”和“七分之四除以三”的特殊性，教材除了让学生采用折纸法、涂色法体会其计算过程的特殊性和普遍性外，还借助长方形图中的條形与方格等形式，显示计算过程。这样，学生不仅把握了两个算式计算结果的正确性，还能直观地理解除法转化为乘法计算的算理。从中可以看出，要把4个“七分之一”平均分成两份，既可以直接数出来，也可以利用计算法则计算。但是，需要把4个“七分之一”平均分成三份时，再用原有的方法就遇到了困难。于是，就得借助图形，先竖着平均分成七等份以后，再横着平均分成三等份，然后在总份数3×7=21份中寻找结果。只有通过比较复杂的认识和思考过程，才能真正得出“分数除以整数”的计算方法。

5.表示规律

所谓规律，即事物之间的内在的本质联系。这种联系不断重复出现，在一定条件下决定着事物必然向着某种趋向发展。要让几岁的小学生去体会和运用规律，是非常困难的，因此，教材除了利用比较合适的素材来体现以外，也借助几何直观来呈现。

北师大版教材二年级上册 “2-5的乘法口诀”的第六节课“回家路上”的习题中，为了让学生按照2、3的口诀表示的规律数数和写算式计算，第二小题（如图8）采用数线图部分标注和部分让学生自己类推标注的方式，引导学生体会有规律的数数和计算的过程。

北师大版教材四年级上册 “数学好玩”的第三节课“数图形的学问”（如图9）中，为了显示鼹鼠钻洞的规律，教材提示学生先用线段图表示题意，然后找规律，类推出洞数较多的钻法数量，力求找到一个解决此类问题的通法。

6.表述算理

所谓算理，就是为什么可以这样算。当然，说理的方式很多，比如数实物、数学具等，但数据比较大或者说理比较复杂时，采用几何直观的方式往往比较方便。

北师大版教材三年级下册 “乘法”的第二节课“队列表演”（如图10）中，为了说明“12×14=168”，教材采用多种方式，从不同角度引导学生从点子图上寻求答案。通过“拆数法”，在图上直观地将两位数拆成“整十数”和“一位数”，或者两个“一位数”，然后列式计算出答案。通过直观分点子图然后列式计算，能充分证明所思和所做的正确性。

几何直观，是学生数学核心素养“空间想象力”的重要组成部分。因此，从低年级起教师就要给予充分的重视。教材中类似的例子还很多，按照这样思路进行研究和实践，即借助实物直观、情境直观等直观方式予以辅助，自然就能使学生的几何直观的形成更顺畅。

（责编 金 铃）