关于指数Diophantine方程x2=D2m−Dmpn+p2n

贺艳峰

(延安大学数学与计算机科学学院,陕西延安 716000)

1 引言和结论

设Z,N分别是全体整数和正整数的集合.D>1是正整数,p是适合p-D 的素数.50多年前,陈景润[1]在研究数论中有关本原商高数的Jeśmanowicz猜想时,曾涉及到方程

的求解问题.这是一类指数型的广义Ramanujan-Nagell方程,它与数论、组合数学和编码理论中的很多重要问题的研究有关(参考文献[2]).对此,佟瑞洲在文献[3]中确定了方程(1.1)的所有适合m=1的解(x,m,n);在文献[4]中提出,除了

以外,方程(1.1)适合m>1的解必定满足下列两个条件之一:

(i)D是奇数,p≡1(mod 8),m=2,n=1;

(ii)D是偶数,D含有2kq+1之形素因数,其中q是m的奇素因数.然而,方程(1.1)除了(1.2)以外,显然还有解

不满足上述(i)和(ii).由此可知文献[4]的结果是不完整的.

对于非负整数t,设

其中

本文根据Diophantine方程的性质和若干已知结果,运用初等方法,完整地确定了方程(1.1)适合m>1的所有解,即证明了

定理 除了(1.2)和(1.3)以外,方程(1.1)适合m>1的解仅有

2 若干引理

为了证明定理,首先需要证明下面的几个引理.为此,设X>1,r>1均是正整数,q是奇素数.

引理 2.1如果 Xr−1是素数,则X=2且r是素数.

证 参见文献[5]的定理1.10.1.

引理 2.2 如果Xr+1是素数,则X是偶数且r=2s,其中s是正整数.

证 参见文献[5]的定理1.10.2.

引理 2.3设X>1,r>1均是正整数,q是奇素数,则

(i)

(ii)当X+1≡0(mod q)时,q k(Xq+1)/(X+1),且(Xq+1)/q(X+1)的素因数p满足p≡1(mod 2q);当X+1 6≡0(mod q)时,(Xq+1)/(X+1)的素因数p满足p≡1(mod 2q).

证 参见文献[6].

引理 2.4当 U2t+1,V2t+1适合(1.4)和(1.5)式时,(U,V)=(U2t+1,V2t+1)(t=0,1,···)是方程

的全部解.

证 因为(U,V)=(1,1)是方程(2.1)的最小解,所以从文献[7]第5.3节直接可得本引理.

引理2.5方程组

仅有解(X,Y,Z)=(1,1,1).

证 参见文献[4]的引理6.

引理2.6方程

仅有解(X,Y)=(1,1).

证 参见文献[7]第6.2节.

引理2.7方程

仅有解(X,Y,r)=(78,23,3).

证 参见文献[8]的定理8.1.

引理2.8方程

无解(X,r,s).……