转换主元 解放思想

浙江省绍兴市上虞区丰惠中学 (邮编：312361)

绝对值、不等式、零点、恒成立是高考学考经常考查的问题，且经常以选择、填空压轴题形式出现，解决起来已经不容易.上面几个问题再加上双参数难度就更大了，诸多文献在解决这些问题时都是围绕主元“x”展开，且方法多样，往往需要分类讨论，过程较复杂.例如2016年4月浙江学考选择题压轴题.

C.(-∞，1] D.(-∞，2]

上面的解法过程比较复杂，思维量大，分类比较巧妙，学生掌握比较困难.我们不妨解放思想，转换主元，把a、b看成主元，把x看成参数.

图1

解法二转换主元简化了解题过程，巧妙的避开了学生较难掌握的分类讨论，下面简举几例.

1 关于绝对值不等式成立双参问题

例1 (2018年11月杭州地区重点中学高三上期中17)，已知函数f(x)=lnx-ax-b对任意的a<0,b∈R都存在x0∈[1,m]使得|f(x0)|≥1成立，则实数m的取值范围为.

解由|lnx0-ax0-b|≥1，得b≤-x0a+lnx0-1，b≥-x0a+lnx0+1,把函数看成关于a、b二元一次不等式，x0看成参数，

评注本题利用绝对值性质去绝对值，转换主元巧妙避开分类讨论，简化解题过程，最后利用线性规划解决问题.

2 关于零点存在双参问题

例2 已知函数f(x)=x2+ax+b(a、b∈R)在[-1,1]上存在零点，且对任意的t∈[3,4],0≤ta+b≤3则b的最小值为.

解把0≤ta+b≤3看成关于a、b二元一次不等式，x看成参数得：

图3

评注本题变量多，约束条件多，如果按部就班解题难度较大，如果能解放思想把参数a、b看成主元,就能化繁为简，顺利解决问题.

例3 (2017年温州三模17)已知函数f(x)=x2+ax+b(a、b∈R),在区间[0,1]上有零点，则ab的最大值为.

评注本题若用二次方程的根与系数关系来处理，情况多样，处理过程比较复杂且难度较大.若能转变思维把a看成主元，问题得到极大简化.

3 不等式恒成立双参问题

例4 设函数f(x)=2ax2+bx-3a+1,当x∈[-4,4]，f(x)≥0恒成立，则5a+b的最小值是.

评注本题是二次函数闭区间上最值问题，常规思路不易解决，变更主元利用线性规划，必要条件探路相对容易解决.

例5 (“超级全能生”2019年高考选考科目浙江省9月联考22) 已知函数

若f(x)≥ax恒成立，求a+2b的取值范围.

评注本题为“超级全能生”2019年高考选考科目浙江省9月联考大题压轴题，难度极大.用传统方法解题过程复杂，思维量大.如果能解放思想把参数a、b看成主元，利用线性规划知识，结合解题过程中的必要性和充分性，就能化繁为简，顺利解题.