聚焦“中点” 多样解题

王海军

摘要：直线与圆锥曲线的位置关系问题突出考查函数与方程、数形结合、转化与化归、分类讨论等数学思想方法的应用，要求学生具有较强的分析问题、解决问题的能力及计算能力.本文就“设而不求法”“点差法”“参数法”三种方法解决中点弦问题加以对比，发现利用直线的参数方程解决中点弦问题有“一石二鸟”之效.

关键词：设而不求;点差法;参数方程

直线与圆锥曲线的位置关系问题是近年来解析几何问题中的一个高频考点，尤其是与圆锥曲线有关的相交弦问题以及存在性问题，此类问题计算量偏大，属于难点，突出考查函数与方程、数形结合、转化与化归、分类讨论等数学思想方法的应用，要求学生具有较强的分析问题、解决问题的能力及计算能力圆锥曲线的中点弦问题是高考常见的题型，在选择题填空题和解答题中都是命题的热点.它的一般方法有：“设而不求”法，点差法[1]。本文将从直线的参数方程这一角度求解中点弦问题.

题1已知椭圆.x2/36+y29=1和点P（4，2），直线l经过点P且与椭圆交于A、B两点.当P点恰好为线段AB的中点时，求l的方程.

解法1设直线l的斜率为k，则其方程为y-2=h（x-4）.

联立{36～=1，y-2=k（x-4），消去y得（1+4h2）x2-ly-2=k（x-4）.（32k2-16k）x+（64h：2-64hk-20）=0.

若设A（x，，y1），B（x2，y2），则x+x2=32h2-16k1+4h：2‘

由于AB的中点恰好为P（4，2），所以2x1+x216=k2-8h1+4k2=4.解得k;=-二，且满足△>0

这时直线的方程为y-2=-1/2（x-4）.

即y=—1/2x+4.

评析此法借助于根与系数的关系，采用了设而不求的数学思想.其优点在于思路清晰，学生利于理解，便于掌握.此法的不足在于：一是对于直线的倾斜角为90°的情形，需要另行讨论;二是对学生的运算能力要求较高，如联立方程组消元的过程、检验直线是否存在的过程.

解法2设A（x，yi），B（x2，y2），则有=1.（369369

两式相减得36X2-x36（y2+y1）'=0

整理得hAB=y2-y1__9（x2+x）_

由于P（4，2）是AB的中点，所以x+x2=8，y1+9x8y2=4.于是hxB=36x42”=1/2

所以直线AB的方程为y-2=一（x-4）.

即y=一一x+4.

评析此法为代点相减法（点差法）.此法的优点在于易列出5个方程，求得直线的斜率，这一步运算量小不足之处在于：一是直线的斜率不存在的情形此法不可用;二是檢验的过程依然比较繁琐，仍需要联立方程组，利用方程组有解检验，这一步对运算能力的要求依然较高.

解法3设弦AB所在的直线方程为「x=4+tcos0ly=2+tsinθ（t为参数）.

代入方程等+￥=1，整理得（1+3sin20）t2+（16sinθ+8cos0）t-4=0.①

因为点P（4，2）是弦AB的中点，由参数t的几何意义可知，方程①的两个实根t，t2满足关系t+t2=0.即16sinθ+8cosθ=0，所以k=tanθ=一

于是直线AB的方程为y-2=-（x-4）.

即y=-x+4.

评析此法为参数法.即：利用直线的参数方程「x=x0+tcosθly=yo+tsin0（t为参数，0为直线的倾斜角）解题，具体如下：设A、B两点对应的参数分别为tr，t2，由M（xo，yo）是线段AB的中点知t+tr=0，进而可解出直线的斜率。此法相对于上述两种方法，不需要考虑直线的倾斜角是否为90°的情形，其次运算量较小，对运算能力的要求较低，而且易于检验直线是否存在，明显优于上述两种方法.

题2已知双曲线x2-y2/2号=1，经过点P（1，1）能否作-条直线l，使l与双曲线交于A、B，且点P是线段AB的中点若存在这样的直线I，求出它的方程，若不存在，说明理由.

本题利用韦达定理的解答过程在本文中不再赘述，下面给出点差法和参数法的解答过程.

解析1（点差法）设存在被点P平分的弦AB，且A（x[，y1）、B（x2，y2）.则x+x2=2，y1+y2=2.

由x一一=1，x-2，两式相减，得（x+x2）（x1-xn）一（y1+y2）（y1-yz）=0.所以hsn=yu-Y2=2xI-x2

故直线AB方程为y-1=2（x-1）.ry-1=2（x-1）

由（y1+y2）（y1-yz）消去y，得2x2-4x+3=0

因为=（-4）2-4x2x3=-8<0，所以直线AB与双曲线无交点，即这样的直线I不存在.

解析2（参数法）设弦AB所在的直线方程为px=1+tcosθly=1+tsinθ（t为参数）.

代人方程x2一=1，整理得（2cos30-sin20）t2+（4cosθ-2sin0）t-1=0..②

因为点P（1，1）是弦AB的中点，由参数t的几何意义可知，方程②的两个实根t，t2满足关系t1+t2=0.即4cos0-2sin0=0，所以h=tanθ=2.

但是需要注意此时方程②为（2cos'θ-4cos20）t2-1=0.即：2tcos20+1=0.此方程无解，所以不存在这样的直线I.

评析本题属于探索性问题中的存在性问题，与直接求中点弦的方程是有区别的.直接求中点弦的方程，间接说明中点弦所在直线是存在的.而存在性问题却不一定存在，所以必须检验.

利用“设而不求”法或者是“点差法”解决此类问题，需要先假设直线存在，先求出直线方程，再利用消元后的二次方程是否有两不等实根确定中点弦所在直线是否存在，验证过程相对较为繁琐，运算能力要求较高.而利用直线的参数方程可起到“一石二鸟”之效.只要将直线的参数方程代人圆锥曲线方程就可得关于参数t的一元二次方程，利用参数t的几何意义.可求中点弦所在直线的斜率，此时若_次方程中t2的系数与常数项异号，则关于被点M平分的弦一般存在;若二次方程中2的系数与常数项同号，则被点M平分的弦可能不存在.

数学运算是数学活动的基本形式，也是演绎推理的一种形式，是得到数学结果的重要手段.通过直线的参数方程解决中点弦问题，既有助于促进学生数学思维的发展，又有利于培养学生程序化思考问题的习惯，从而提升学生的数学运算能力，形成一丝不苟、严谨求实的科学精神.

参考文献：

[1]杨顺武.圆锥曲线中点弦问题的解题方法[J].高中课程辅导，2014（10）：291.