利用全反角求解力学难题

天津 窦云胜

在动态分析物体受力的过程中，常常涉及到包含重力、弹力、滑动摩擦力三力在内的物体四个力的平衡问题或有加速度的三个力的非平衡问题，而大多数学生使用矢量法或正交分解法时，无法确定弹力和滑动摩擦力的大小关系，因此无法得出结果。如果抓住滑动摩擦力与弹力之间的夹角不变的特点，将滑动摩擦力与弹力等效成一个力：全反力(弹力FN和摩擦力Ff的合力R为全反力，全反力R和弹力FN之间的夹角为全反角α，也叫摩擦角)，就可根据矢量关系图，快速求解出物理问题。

一、物体平衡中的问题

【例1】如图1 - 1所示，在水平面上放有一质量为m、与地面的动摩擦因数为μ的物体。现用力F拉物体，使其沿地面匀速前进，求F的最小值及方向。

【解析】对物体进行受力分析，设全反力为R，代替弹力FN和摩擦力Ff，作出矢量图，如图1 - 2所示。发现当外力F与全反力R垂直时，F最小。得：

Fmin=mgsinθ

根据摩擦角概念μ=tanθ，建立三角函数关系，如图1 - 3所示，得：

【例2】水平地面上有一木箱，木箱与地面之间的动摩擦因数为μ(0<μ<1)。现对木箱施加一拉力F，使木箱做匀速直线运动。设F的方向与水平面夹角为θ，如图 2 - 1，在θ从0逐渐增大到90°的过程中，木箱的速度保持不变，则

( )

A.F先减小后增大

B.F一直增大

C.F的功率减小

D.F的功率不变

【解析】作出矢量动态分析图，如图2 - 2所示。当夹角θ=arctanμ时，F为最小，由图2 - 2可知,力F先减小后增大,故此答案A正确。根据功率的表达式P=Fvcosθ，考虑到F先减小后增大，夹角θ的cosθ值一直减小，可判断出功率开始阶段是减小的，至于后面过程的功率无法判断。将功率表达式变为P=(Fcosθ)v，根据图2 - 2发现，虽然力F先减小后增大，但其水平分量Fcosθ随角度θ增大而减小。故此，答案C正确。

【例3】如图3 - 1所示，质量为m的物体放在一个固定斜面上，当斜面的倾角为30°时，物体恰能沿斜面匀速下滑。对物体施加一个大小为F的水平向右的恒力，物体可沿斜面匀速向上滑行。已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力。当斜面倾角增大并超过某一临界角θ0时，不论水平恒力F为多大，都不能使物体沿斜面向上滑行，试求：

(1)物体与斜面间的动摩擦因数；

(2)这一临界角的大小。

考虑到当斜面倾角增大并超过某一临界角θ0时，不论水平恒力F为多大，都不能使物体沿斜面向上滑行，那么，肯定是全反力与水平推力反向，大小相等。如图3 - 3所示，有：30°+θ0=90°即：θ0=60°

【例4】拖把是由拖杆和拖把头构成的擦地工具(如图4 - 1)。设拖把头的质量为m，拖杆质量可以忽略；拖把头与地板之间的动摩擦因数为常数μ，重力加速度为g，某同学用该拖把在水平地板上拖地时，沿拖杆方向推拖把，拖杆与竖直方向的夹角为θ。

(1)若拖把头在地板上匀速移动，求推拖把的力的大小。

(2)设能使该拖把在地板上从静止刚好开始运动的水平推力与此时地板对拖把的正压力的比值为λ。已知存在一临界角θ0，若θ≤θ0，则不管沿拖杆方向的推力多大，都不可能使拖把从静止开始运动。求这一临界角的正切tanθ0.

【解析】对物体进行受力分析，并做出力的矢量关系，如图4-2所示，由牛顿第一定律得：

由物体平衡得：水平推力大小等于摩擦力的大小，根据运动的水平推力分量与此时地板对拖把的正压力的比值为λ，得：摩擦力与正压力的比值为λ。而摩擦力与正压力的比值为摩擦角θ0的正切值，即tanθ0=λ。

即当θ≤θ0时，不管沿拖杆方向用多大的力，如图4 - 2所示的矢量图都成立，都不能推动拖把。

小结：对于物体平衡问题，物体的矢量合为零，只要将全反力替代弹力和摩擦力，就可以使物体的受力个数减少一个，如将物体受到四个力的情况变成物体受三个力的情况，使求解题目变得简单。

二、物体存在加速度的问题

【例5】某学校组织趣味课外活动：拉重物比赛，如图5 - 1 所示。设重物的质量为m，重物与地面间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g。某同学拉着重物在水平地面上运动时，能够施加的最大拉力为F，求重物运动时的最大加速度。

【解析】对重物做受力分析如图5 - 2，以重力mg的上端为圆心，以最大拉力F为半径作圆弧，考虑到全反力R与竖直方向的摩擦角θ确定，故当最大拉力F与全反力R相垂直时，合力ma最大。

根据牛顿第二定律得：

Fcosθ-(mg-Fsinθ)·tanθ=ma

考虑到摩擦角μ=tanθ

(1)求物块加速度的大小及到达B点时速度的大小。

(2)拉力F与斜面的夹角多大时，拉力F最小？拉力F的最小值是多少？

【解析】由物体的匀变速直线运动学公式得：

v=v0+at

解得：a=3 m/s2，v=8 m/s

对物体建立矢量受力图，如图6 - 2所示。由于合力ma已经确定，当拉力F与全反力R垂直时，其值F为最小。此时，角度α为全反角。

所以，当拉力F与斜面的夹角为30°时，有拉力F的最小值。

【例7】如图7 - 1所示，在匀强电场中，一个带正电的物体沿水平方向的绝缘天花板平面做匀速直线运动。从某时刻(设为t=0)起，电场强度从E0均匀增大。若物体与天花板平面间的动摩擦因数为μ，电场线与水平方向的夹角为θ，物体所受的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，且电场空间和天花板平面均足够大，下列判断正确的是

( )

A．在t=0之前，物体可能向左匀速直线运动，也可能向右匀速直线运动

B．在t=0之前，物体受到的摩擦力大小可能为0

C．在t=0之后，物体做匀减速运动，最后要掉下来

D．在t=0之后，物体做减速运动，且加速度越来越大，直到停止

【解析】对物体进行受力分析，并作出受力矢量图，如图7 - 2所示。原先物体在做匀速直线运动时，电场力Eq、重力mg、支持力N与滑动摩擦力f的合力R，恰好组成矢量三角形(图中实线部分)。而当电场力增大时，电场力Eq与全反力R变化并不共线(图中虚线部分)，会出现了方向向左的合力ma，致使物体向前做减速运动，故答案为D选项。

小结：对于物体的非平衡问题，物体的矢量合不为零，考虑到合力ma，物体本身往往受到的四个力，相当于涉及到五个力。在做矢量图时，既要将全反力替代弹力和摩擦力以使受力个数减少一个，同时也要考虑到加速度的方向，而更重要的是作图技巧。