量纲分析法在物理建模与计算分析中的应用研究

刘宝平

(朔州职业技术学院,山西 朔州 036000)

为了研究某物理问题或规律,从其所处的物理情境中找出描绘问题的参数，并利用参数间的相互关系进行分析,依据所得数据建立相关模型的过程,称之为物理建模[1]。量纲分析(Dimensional analysis)是物理和工程等专业常用的建模方法之一。自广义相对论提出以后,利用半定量的量纲分析[2]方法来研究物理量间的关系受到学者们的广泛关注。它的理论基础是量纲齐次原则[3],首先对研究问题所涉及的物理量列出方程,再进行初等计算以确定物理量之间的关系,最后分析各物理量对研究对象的影响。人们利用量纲分析法可以推测某物理规律,定性地检查物理计算结果的正确性,还可以为实验中的合理假设提供定性分析。经量纲分析的结果中常含有待定的无量纲常数或函数,这些量只能通过实验和理论的拟合进一步确定,正是这些不完备的无量纲量为物理实验模拟提供了丰富的实践参考。传统的物理建模方法侧重于探寻物理量之间的内在联系,追求推导过程的逻辑缜密及条理清晰。这就要求研究者具备完整的知识结构和较高的公式推理和演算能力,但在遇到未知规律或新问题时,往往会受定势思维影响,首先想到用系统的理论公式展开详尽的定量计算,缺乏使用量纲分析法的意识。实际上,有些问题若通过量纲分析做定性研究便可解决。鉴于此,本文将量纲分析法用于物理建模与计算结果验证中,以玩具飞机的空气动力学模型为例，说明了量纲分析在物理建模中的应用。

1 量纲分析的基本理论及应用

物理量的量纲分为基本量纲和导出量纲[4]。SI单位制下7个基本物理量包括力学范畴内的“长度”、“质量”和“时间”3个物理量;热学部分的“热力学温度”和“物质的量”;电磁学部分的“电流”;光学部分的“发光强度”, 这7个基本物理量的量纲构成相互完全独立的量纲称之为基本量纲,分别为 L、M、T、Θ、N 、I和J。导出量纲是由7个基本量纲推导出来的量纲。对于任意物理量W的量纲可以表示成基本量纲的乘积的形式[W]=LaMbTcIdΘeJfNg, 幂次指数a、b、c、d、e、f、g为量纲指数.表1列举了SI单位制及电磁学(CGSE单位制)下常用物理量及其量纲。

表1 常用物理量及其量纲列举Table 1 Common physical quantities and their dimension

1.1 利用量纲分析法进行物理建模

1.1.1理论模型的建立

需要强调的是,在选取相关物理量时尽可能减少选取相同量纲的物理量,以减少无关方程对物理量有效性的影响。在确定量纲方程组后,可以从方程组的解的情况来检验物理量的有效性:若方程组无解,表明所选取量之间的关系式不存在,或物理量中包含同量纲的物理量太多,应重新选取;若方程组有唯一解或者说无穷解,表明选取量的关系可能存在;若方程组有不确定的解或者说无穷解,表明物理量可构成若干无量纲量。可见,利用量纲分析建模抓住了物理问题的关键因素,通过简单的数学运算简化物理过程,从而精准、高效地确定物理模型。下面通过示例1对量纲分析在物理建模中的应用加以阐述。

示例1 确定如图2所示的玩具泡沫飞机飞行时的空气动力学模型。

建模过程:泡沫飞机能够飞起来的必要条件是空气对飞机的升力大于飞机自身的重力。若飞机所受升力为F,猜想它可能与泡沫飞机的机翼面积S、飞行速度v以及飞行高度h有关。另外从泡沫飞机的飞行环境分析,升力可能与空气的密度ρ0有关,由此确定F=F(S，v,h,ρ0),涉及物理量的量纲分别为:[F]=LMT-2，[S]=L2，[v]=LT-1，[ρ0]=L-3M，[h]=L.

设F=ksaυbρchd(k为无量纲因子)，则可得量纲方程：

[LMT-2]=[L2]a[LT-1]b[L-3M]c[L]d

(1)

根据量纲齐次原理得指数方程组：

(2)

解得a=1,b=2,c=1,d=0

所以F=kSυ2ρ0

(3)

由(3)式可知,玩具泡沫飞机受到的升力与飞机的机翼面积S、飞行速度的平方υ2以及空气密度ρ0成正比,而与飞行高度h无关。

飞机的重力G=mg,飞机能起飞条件为F>G,即

(4)

设飞机的几何尺度为l,则其质量m∝l3,面积S∝l2,于是泡沫飞机起飞的临界速度：

为泡沫的密度)

(5)

从(5)式可知,在飞行环境相同(ρ0一定)时,当飞机的材质密度ρ1越小,自身线度越小,能飞起来所需的临界速度就越小。所以在制作飞机时,商家选取了泡沫而不是其他密度较大的材质。据此,可以解释一些生活中常见的现象进行类比研究，如鸵鸟飞不起来的原因——其自身线度太大,因鸵鸟身体大约为燕子体积的36倍,设燕子的临界起飞速度为25 km/h,则鸵鸟起飞的临界速度必须达到燕子所需速度的6倍,即需要150 km/h,鸵鸟无法达到此速度,因此鸵鸟无法飞起来。

从以上示例可以看出,利用量纲分析法未经过复杂计算就建立了泡沫飞机起飞的模型,理解了泡沫飞机的选材以及尺寸大小的设计原则。至于建模中涉及的无量纲量k可以通过设计相关实验得到数据,利用图像拟合得到。

1.1.2利用实验得出无量纲因子

物理学是一门以实验为基础的理论与实践相结合的课程[6]。利用量纲分析理论建模后需对所建立的理论模型反复进行实验论证,通过实验数据与量纲齐次原理分析的结果比对,进一步检验实验方案的设计是否合理。最后,利用实验数据做出相关物理量的函数曲线,通过数据拟合来确定无量纲系数。

表2 模型飞机的临界飞行速度与各量的实验数据Table 2 Critical flight speed of model aircraft and experimental data

在研究前述泡沫飞机的动力学模型时,可借助实验确定无量纲参数k的数值。这里选定实验样品模型飞机的初始质量m=0.06 kg,后每次增加配重10 g。设当地重力加速度g=10 m/s2,若机翼面积s=4×10-3m2,空气密度为ρ0=1.2 kg/m3(常温),通过测定模型飞机的临界飞行速度与各量的关系如表2所示,并绘制图3得出k的数值。

从图3的实验数据可以确定该实验样品飞机模型中的无量纲因子k的值约为1.8。至此,通过量纲分析得出了模型中相关物理量之间的关系,最终通过实验方法确定出了无量纲系数的数值。将量纲分析法应用到物理实验建模中,可以提升学生的思维能力、解决问题能力及科学探究能力。

1.2 利用量纲分析对计算结果验证

传统的物理计算中,在验证一个较复杂的计算结果时,一般通过公式进行严格推导来完成,这样的验证过程需要较强的推导计算能力。如果借助量纲分析法就可以简化计算,从而起到事半功倍的效果。量纲分析必须遵从量纲法则的约束,图4给出了量纲法则的具体阐述。下面通过示例2具体阐述如何利用量纲分析对计算结果的正确性加以验证。

示例2图5所示为一个半径为R的理想的均匀带电圆环,其单位长度带电量为η,取环面中心O为原点,以垂直于环面的轴线为y轴。在轴上任取一点M到O点的距离为y,以无穷远处为零电势点,M点电势的大小为φ.下面给出φ的4个表达式，哪个是正确的(式中k为静电力常量)？

图5 均匀带电圆环Fig.5 Charged ring

2 结论

综上所述,将量纲分析应用于物理建模,实质是将半定性半定量的分析方法应用于物理学的学习和研究过程。本文对量纲分析法在物理建模和计算结果验证两方面的应用做了详尽阐述,在建模前期首先给出一些假设,建立相关物理量之间的关系,可以避开复杂的理论计算,对建模过程可以起到事半功倍的效果。同时,对于用理论推导方法得到的计算结果也可借助量纲分析经简单计算对其正确性进行验证。由此可见,量纲分析方法在物理建模、计算结果验证中是一种行之有效的方法,如何将其恰当运用是值得每一位物理相关领域研究者在实践中不断探索和深思的问题。