社会科学中的数学原理

本刊编辑部

世界上的事情看起来纷繁复杂，实际上很多事物背后都隐含着某些规律和法则。人们在生活中，总结出了许多听上去简单直白的基本法则和定律，细想起来却是哲学家、经济学家、心理学家思想和智慧的结晶。理解这些法则和定律，能让我们学到很多数学知识，更可以帮助我们更好地理解生活中的许多现象呢！

酒与污水定律近朱者赤，近墨者黑

“酒与污水定律”说的是，假如把一杯美酒倒进一桶污水，得到的只能是一桶污水;反之，把一杯污水倒进一桶美酒，得到的同样还是一桶污水。理解这个定律的关键，在于明白酒和污水的比例并不能改变这桶液体的性质，不管分量多少，只要有污水存在，加入再多美酒也无济于事。

“酒与污水定律”是一条来自西方的管理学定律，我国也有许多同理的谚语，大家最熟悉的就是“一粒老鼠屎坏了一锅粥”，还有“一块臭肉坏了满锅汤”等等。

管理学家认为，在任何组织里，都存在着几个难搞的人物，似乎他们存在的目的就是为了把事情搞糟。他们到处搬弄是非，传播流言，破坏组织内部的和谐。最糟糕的是，他们就像果箱里的烂苹果一样，如果不及时处理，甚至会迅速传染，让果箱里的其他苹果也腐烂掉。

我们以生活中的污水和自来水为例，从数学角度，通过计算的方式理解这件事。

案例生活中污水

人类的日常生活会产生很多污水，按其来源，污水可分为两类：工业污水和生活污水。

工业污水主要是在工业生产中产生，不同工厂排出的废水不一样，但一般都包含很多重金属和有毒的化学物质。生活污水则从生活中产生，主要来自厕所、厨房、浴室等。

不管是哪一种污水，都含有大量有机物和非常非常多的细菌。一般来说，生活污水中的寄生虫卵数为222～2953个/升，大肠杆菌数量约为10（平方6）个/升～10（平方7）个/升。这些数字有多可怕呢？大家可以对比一下，我国对饮用水的细菌标准规定是：1毫升饮用水中细菌总数不超过100个;1升饮用水中的大肠杆菌数的数量不超过3个。（数据来自《生活饮用水卫生标准》GB5749-85）

根据酒与污水定律，假设我们将1毫升（大约一勺）污水倒入10升饮用水中，会得到～杯怎样的水呢？已知污水中大肠杆菌数量约为10（平方6）个/升，饮用水中大肠杆菌的数量1个/升。1升污水中有大肠杆菌数量约10平方6个，那么1毫升污水中大肠杆菌的数量是1000个，10升饮用水中大肠杆菌的数量是1x10=10个。

1毫升污水倒入10升饮用水之后，体积和为10.001升，大肠杆菌的数量和变为1010个。由此可以算出平均每升水中大肠杆菌的数量：1010÷10.001=100（个/升）。

显然.这个数量大大超过了饮用水的标准！根本不能喝。

这个简单的估算只针对大肠杆菌的数量，其他的细菌和有毒物质也可以用类似的方法算出来。总之，用计算的方法可以证明，一杯污水的确可以污染掉一大桶美酒，酒与污水定律是对的。

二八法则抓住属于你的20%

二八法则又名80/20定律，这个定律被广泛应用于社会学及企业管理学中。

1897年，意大利经济学家怕累托偶然注意到当时英国人的财富和收益模式，他从大量具体的事实中发现了两项非常重要的规律：

第一项发现：财富在社会中的分配是不平均的，大部分财富流向了少数人手里，社会上20%的人占有80%的社会财富。

第二项发现：这种不平均现象到处都存在，并且会重复出现。

他发现，在当时和更早期的资料中，英国和同时代的其他国家都一再出现相同的模式，而且这在数学上也有相当的准确度。比如真理往往掌握在少数人手中，一个企业80%的利润源于20%的项目，世界上20%的人手里掌握着全世界80%的财富，20%的人身上集中了人类80%的智慧等等。

后人给予这项发现许多不同的命名，例如怕累托定律、最省力的法则、不平衡原则等。二八法则的数学原理

“二八法则”向人们揭示了这样一个真理，即投入与产出、努力与收获、原因和结果之间，普遍存在着不平衡关系。小部分的努力，有可能获得大部分的收获;起关键作用的小部分，通常就能主宰整个组织的产出、盈亏和成败。

二八法则给我们的一个忠告就是：应该把精力用在最见成效的地方。

二八法则无处不在，它就像人的影子，潜伏在生活的每个角落。我们看看下面这组数据。

※2016年9月出版的《现代汉语词典》第7版，共收录各类单字13000多个;根据教育部的规定，小学中学阶段要求学生认识3500字。大家知道，高中生进行普通阅读肯定是没有问题的，也就是说，我们一生最常用的大概80%的汉字（3500×80%：2800）仅占字典总数的21%（2800÷13000×100%=21%）。

※根据美国经济政策研究所的统计報告，1962年，美国1%最富有家庭的收入占所有家庭收入的21.2%，20%富有家庭的收入占所有家庭收入的80.4%;到2009年，美国20%富有家庭的收入更是占到全部家庭收入的87.2%。

※汽车发动机的作用是将汽油燃烧产生的能量转化为动能，推动车辆前进。由此可以写成公式：发动机的热效率=车辆的动能÷汽油燃烧产生的总能量×100%。然而在实际生活中，汽油燃烧产生的能量中的80%是浪费掉了，只有20%能被车辆利用起来。

※统计显示，2017年，全球所有国家的GDP总量约为80万亿美元。世界上GDP最高的前20个国家（美国、中国、日本、德国、英国、印度、法国、意大利、巴西、加拿大、韩国、西班牙、澳大利亚、俄罗斯、墨西哥、印度尼西亚、荷兰、土耳其、瑞士、沙特阿拉伯）的GDP总和约为64万亿美元，占了全球GDP总量的80%。

被称为“20世纪最大投资失败”的铱星公司倒闭，也是被“二八法则”击败的典型事例。

1997-1998年，美国铱星公司发射了66颗人造卫星用于手机全球通讯，称为铱星。这些铱星均匀分布在太空中的6条轨道上，每条轨道有11颗卫星。铱星公司的目标是让人类实现5个“任何”，即任何人在任何地点、任何时间与任何其他人采取任何方式进行通信。

这样的先进技术在当时简直是举世无双，可就是这样一个“天之骄子”，却在投入运营两年后不得不宣布倒闭。原因何在？除了运营方面的种种失误，还有一个最重要的败因正是它所追求的“覆盖全球”的理想。我们来看下面这些数据：

※地球表面积5.1亿平方千米，其中陆地为1.49亿平方千米，占全球表面积的29.2%，其余71%为海洋。

※在地球陆地面积之中，有很多人迹罕至的地区，如终年冰雪的南极洲（0.14亿平方千米），广阔的沙漠地区（0.15万平方千米），还有利用价值较低的高山和荒原等（0.4亿平方千米）。

人们经过计算发现，地球表面至少80%以上是人迹罕至的海洋、极地和高山。为了将这些地域纳入通讯网络，铱星公司不但要发射大量卫星，还要负担维护其运转的巨额费用，但这些地方能产生的利润却微乎其微。这些成本最终只能由另外20%地区的用户来负担，这就造成铱星电话价格过高，无法和普通移动电话竞争，最后不得不以破产收场。

晕轮效应爱屋及乌的认知偏差

晕轮效应最早是由美国心理学家爱德华·桑代克于20世纪20年代提出的。他认为，人们对某个人的认知和判断往往只从局部出发，就像日晕一样，由一个中心点逐步向外扩散成越来越大的圆圈，最终由此得出整体印象，因此，晕轮效应也叫“光环效应”。

随后，不少心理学家通过各种实验，证明了这个想法的正确性。

比如在1974年，一些心理学家就做了关于晕轮效应的实验。心理学家们选了60名男性来给一些论文打分，同时给他们看作者的照片。结果人们发现，这样评出来的论文的分数和作者的外貌明显相关。

在1到9的分数范围内，针对同一篇写得较好的论文，如果评分人看到的作者照片很漂亮，该论文能得到6.6分，如果评分人看到的作者照片不够漂亮，该论文只能得到5.9分。同理，针对同一篇写得不太好的论文，漂亮的作者能得到4.7分，不够漂亮的作者仅能得到2.7分。

从上面这个例子可以看出来，如果作者长相漂亮，其他人会下意识认为她的论文更好些;如果作者长相不够漂亮，那么论文的得分就要差一些。然而，论文的好坏和作者的长相是没有关系的。

“晕轮效应”的特点就是以偏概全，在对不熟悉的人或者有严重情感倾向的人进行评价时，这种效应体现得尤其明显。比如一个学习成绩好的学生，老师和家长往往认为他是一个智力很高、聪明、热情、灵活、有创造性的人。与之相反，如果一个学生在某一方面表现不好，不管是他成绩不好还是喜欢调皮捣蛋，老师和家长往往认为他一无是处。

名人效应也是一种典型的晕轮效应。大家在生活中不难发现，商家喜欢选有名的歌星、影星来拍广告，而很少选择没人认识的普通人。因为明星们相貌出众，会让观众觉得他们推荐的商品也很出色。

晕轮效应的数学原理

要更好地理解晕轮效应，我们先要理解什么是晕。

“晕轮”中的“晕”是一个天文学名词，指的是太阳和月亮周围有时会出现的一种光圈。有晕的时候，远远看上去，太阳和月亮好像扩大了许多。太阳的晕叫“日晕”，月亮的晕叫“月晕”。

※晕的成因

“晕”是一种比较罕见的天象。当气温变低时，在高空的大气里有时会结出六棱柱的冰晶，如果太阳光或月光刚好射到它们，冰晶便以一种特殊的方式将光弯曲聚集，這样便形成了晕。

晕分为内晕和外晕。内晕比较常见，它是围绕太阳和月亮的22°的圆弧。这个22°是怎么得来的呢？假设从太阳到日晕画一条线，作为一条三角形的底边，观察者站在三角形顶尖量出的角度就是22°。

外晕相比而言更少见，它有46°的弧，故称为“46°晕”，内晕和外晕看起来像围绕太阳和月亮的较大的圆圈。

※内晕和太阳的大小比

晕都在太阳外面，那内晕比太阳大多少呢？这还需要我们掌握一个概念：天体的视大小。

对站在地球上的我们来说，天体的视大小就是从被观察的天体的两侧引向我们眼睛的两条直线间的角度的大小，这个角度也称为“天体的视角”。

也就是说，天体的视大小和你距离天体的距离有关。那么，我们站在地球上看太阳的视角有多大呢？这句话用几何语言来说，就是计算如下问题：在一个半径1.496亿千米（地球和太阳的平均距离）的圆上，太阳的直径139万千米这段弧对应的圆心角是多少度？用公式计算很简单：

139÷（15000×2×3.15）×360°=0.53°

站在地球上看月球，月球的视大小是多少呢？我们也可以计算一下。月球和地球的平均距离是38.4万千米，月球的平均半径是1738千米。同理可以算出：

1738×2÷（384000×2×3.14）×360°=0.52du3

我们惊讶地发现，太阳和月球的视大小差不多：这是因为太阳的直径差不多是月球的400倍，同时，地球与太阳的距离也是地球与月球距离的390倍（很接近400倍），所以在地球上看起来两者大小差不多。

对比一下，内晕的视角是22°×2=44°，可太阳的视角只有0.53°，44°比0.53°大许多，内晕看上去可谓十分醒目了。