变网格波动方程高阶有限差分正演模拟研究

段宏凯 张晓丹 佘翼翀 谢宝林 杨白雪

摘要：在地震波場数值模拟中，如何使计算结果兼备高效性与准确性一直是地震勘探学者研究的热点之一. 为保证计算精度，传统方法采用统一的较小步长进行有限差分计算，严重降低了正演模拟的计算效率.提出了一种根据地质模型特点对不同的速度层采用不同尺度网格，并优化过渡带的方法，首先，分析研究对象的速度模型从而确定多尺度网格划分规则，其次，确定过渡带范围，最后，求取过渡带内外各点波场系数与差分点数，最终获得整个模型网格点的波场值. 通过文中的实验结果可见，在保证与常规网格方法模拟精度不变的前提下，使用多尺度网格方法进行数值模拟的计算效率明显提高，就本文的算例而言，平均可以达到25.16%.

关键词：多尺度网格；步长；过渡带；波场模拟；计算效率

中图分类号：P631 文献标识码：A

文章编号：1009-3044（2019）07-0252-03

现代油气勘探面临着向地表更复杂更深层区域推进的现状，这就对地震资料的采集，处理和解释提出了更高的要求。数值模拟方法因其经济性和准确性，得到了广泛的应用. 常用的数值模拟方法有伪谱法，有限差分法，有限元法，有限差分法以其算法易于实现，运算速度较快，模拟结果分辨率高等优点获得了广泛应用[1]. 传统有限差分是基于统一尺度的矩形网格进行空间划分，均是以固定的网格步长对整个模型区域进行离散化处理[2]，但是在复杂的地质体和岩性构造区域，介质分布是高度不均匀的，而且这些介质通常都是带有低速夹层，这些精细岩层需要用更小采样间隔来提高模拟精度，抑制频散和保障稳定性[3]. 但是整个模型区域剖分越细，计算量会成倍增加，从而极大地降低了模拟效率，并且高速层会出现过采样.为解决以上问题，有的学者采用提高差分阶数的方法来避免频散：岳晓鹏[4]使用时间4阶、空间2N阶差分进行正演模拟，李斌[5]在时间域和空间域都使用高精度差分，提高了正演模拟精度；有的学者则从交错网格入手，Wei-Zhong Wang[6]提出了多尺度旋转交错网格，降低了计算时间，Hongyong结合极小极大近似和泰勒级数展开，提出了最优变网格有限差分，王建[7]使用余弦函数修正二项式窗改进的交错网格进行数值模拟，有效控制了数值频散；还有的学者另辟蹊径，马吉浩[8]]综合了不同的地震资料进行了正演模拟，梁全文[9]使用改进的线性方法确定新模板的有限差分系数，并提高了计算精度. 以上学者都采用固定大小的网格进行模拟，因此，一些学者通过改变网格步长来解决频散问题：Moczo首次使用网格连续变化的方法来减少计算量，提高数值模拟的效率，1994年，Jastram和Behle[10]提出了二维声波方程针对某一深度变网格步长的算法，张剑锋[11]基于弹性波应力-速度方程给出了交错计算应力及速度的非规则网格差分法，黄超和董良国[12]通过将变化的空间网格与变化的时间步长技术相结合，提出了一种空间网格大小与时间步长均可任意变化的高阶有限差分模拟方法. 上述的算法，使计算效率和存储空间的使用情况都有了较大的改进，但在进行计算时，在网格步长突变处的邻域存在着一个过渡带，这些算法中一部分是对过渡区域进行插值，这会增加算法的不稳定性，另一些是使用平滑函数对过渡带区域进行平滑，但这样使差分算法更难实现。因此，本文提出了一种无须在过渡带进行插值的多尺度网格算法，能够有效地解决上述问题.

1 波动方程及其差分格式

4 总结

通过实验验证，由于在低速区域使用小步长网格进行采样，并在过渡带引入了对称的有限差分法，较之传统有限差分法，多尺度网格步长有限差分平均减少计算时间25.16%，平均节省储存空间21.89%。因此，多尺度网格步长有限差分算法具有以下特点：使得使用小步长网格采样的模型内存需求量降低；计算效率明显提高；无须在过渡带进行插值，有效地避免了由插值引起的误差累积. 因而对含有层状速度地层、阶梯状地层进行数值模拟时有均良好的效果.

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