一类对角互补型问题的解题策略

范建兵

笔者偶遇一道常州中考数学填空压轴题，思绪万千，不禁为其精心的构思、模型化的考查拍手叫好。

【原题呈现】如图1，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB=3，AD=5，∠BAD=60°，点C为弧BD的中点，则AC的长是 。

图1

【解析】由题意知，BC=CD，∠CAD=∠CAB=30°，∠BAD+∠BCD=180°，∠B+∠D=180°。

解法一：运用旋转策略。

如图2，将△ACD绕点C逆时针旋转120°，得△CBE，则∠E=∠CAD=30°，BE=AD=5，AC=CE，得△ACE是一个顶角为120°的等腰三角形，作CM⊥AE于M，解此三角形可得AC的长。

图2

解法二：运用角平分线策略。

如图3，过C作CE⊥AB，交AB延长线于E，CF⊥AD于F，借助角平分线性质、两次三角形全等、30°角特殊性质、勾股定理等知识可得AC的长。

图3

【模型解读】如图4，从原题中四边形ABCD来看，结合“圆内接四边形对角互补”，可得这个四边形属于“对角互补型”四边形。

此类问题解题一般有两个显性特征：（1）有一组相等的邻边，如原题中的BC=CD，旋转后使BC与CD重合；（2）四边形对角互补，如原题中的∠B与∠D，旋转后构造三点共线。

图4

【模型再现】如图5，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠BCD=90°，连接AC。若AC=6，求四边形ABCD的面积。

这是典型的“对角互补型”问题，与原题相比隐藏了一个四边形ABCD的外接圆，有了上面的理解，解答这样的题目是不是很简单呢？

图5

【点评】“对角互补型”问题的图形中，除了隐圆（四边形四个顶点在同一个圆上）和两个显性特征，还有哪些隐性结论呢？如果我们深度反思，能发现这类问题的“内涵”还是挺丰富的，让我们结合下列图形去探求其中的奥秘。

（1）如图 6，∠AOB=∠DCE=90°，OC 平分∠AOB，你能写出哪些结论？如果将∠DCE绕点C旋转，如图7，这些结论还成立吗？

图6

图7

（2）如图8，∠AOB=2∠DCE=120°，OC平分∠AOB，你能写出哪些结论？如果将∠DCE绕点C旋转，如图9，这些结论还成立吗？

图8

图9

以上两种情况，请同学们自行思考哦。其实解题就如学习，只要认真思考，细细体会，就一定会发现更多的奥秘。