例谈《椭圆标准方程的推导和化简》的核心素养培养

☉安徽省临泉第一中学 李云真

高中数学核心素养的养成方式呈现出多样化的趋势，但课堂仍然是主要场所，教师授课仍然是主要方式，因此如何在现有的教学条件下，通过新的技术、新的理念来优化和丰富课堂教学，并实现对学生数学运算核心素养的培养成为了当前高中数学教育的重点和难点.得益于信息化教学工具在高中校园的普及，以信息化教学工具为载体的微课教学凭借着知识点分布全面细致、教师讲授便捷明了、学生学习兴趣更加浓厚等优点，获得了越来越多高中数学教师的欢迎.

一、课前学情分析

本文所选用的微课教学设计内容为北师大《高中数学·选修2-1第三章圆锥曲线与方程》第一节“椭圆及其标准方程”的内容.本节微课的教学设计旨在以下三个方面：其一，承上，以“圆”的定义和标准方程推导与化简为基础，启发学生思考，在完成椭圆定义、标准方程推导与化简的同时，实现对圆的相关内容的复习、应用和强化；其二，启下，通过对椭圆定义、标准方程推导与化简的学习进一步强化对圆锥曲线此类问题的分析和解决思路，为后续更多、更为复杂的圆锥曲线问题的分析和解决打下良好基础；其三，数学运算核心素养，本节微课主要以平面直角坐标系上的椭圆的性质为主，尝试用三种不同的方法对椭圆的标准方程进行推导和化简，重点在于培养学生的数学逻辑思维，通过教师的引导与启发来促使学生自主思考，积极运算，从而切实加强学生的数学运算核心素养的培养.

二、微课设计思路

本节微课教学设计以新课标中关于高中阶段数学运算核心素养的具体要求为指导，旨在通过微课设计建立更加丰富的教学方式与更加有效的师生互动，通过讲述、启发、引导、评价和总结等方式充分调动学生自主分析、独立思考的积极性，加强学生的参与性.基于此，本次微课设计为了实现拓展数学运算思维、培养学生程序化分析的习惯、养成严谨求实的数学精神这三大目标，将整个微课教学过程按照6个步骤逐一展开：1.理解运算对象；2.掌握运算方法；3.选择运算法则；4.明确运算方向；5.设计运算程序；6.获取运算结果.

三、微课教学实施过程

1.椭圆概念引发

师：同学们有没有观察过我们生活中各种各样的圆形呢？生：圆形的镜子、地球、鸡蛋、车轮、太阳、月亮……师：同学们观察的很仔细，那么大家能不能对这些不同的圆形进行一下分类呢？

生：镜子是圆形的，鸡蛋是椭圆的，行星的运转轨迹也是椭圆的……

师：同学们总结的很好，那么我们今天学习的重点就是生活中最常见的几种圆形中的典型代表之一：椭圆.

师：我知道同学们都能够熟练地画出椭圆的大致形状，那么同学们能不能用我们的数学语言对椭圆下一个定义呢？让我们先从这个问题入手：

已知存在圆O，点F在圆O内，点P在圆O上，直线l垂直平分PF，同时和PO相交于点M，那么随着点P在圆O上的位置变化，点M的运动轨迹是什么呢？下面大家一起来看一下.

（教师播放事先准备好的点M运动轨迹的Flash动画，最终用线将点M的运动轨迹标识出来，出现一个椭圆.如图1所示.）

师：大家请仔细观察点M的运动轨迹，然后认真归纳一下直线l

和PO的交点M在伴随着点P的运动而运动的过程中有什么特征呢？

生：直线l是PF的垂直平分线，那么MP=MF；

师：说得很好！那么大家能不能发现线段MF和线段MO的长度之和有什么特征呢？

图1

生：MF+MO=MP+MO=OP，所以线段MF和线段MO的长度之和刚好为圆O的半径.

师：很好.同学们总结的非常正确.从上面的特征分析来看，我们可以得出关于椭圆的概念特征：（1）已知平面内的两个点（如图1中的F，O）；（2）椭圆可以理解为到上述两点的距离之和为定值（如图1中的圆O半径）的点的集合.

2.椭圆标准方程推导

师：同学们不妨联想一下我们学过的关于圆的定义，有哪位同学能够主动表述一下？

生：平面内到定点的距离为定值的点的轨迹是圆.

师：很好，这位同学的表述很准确.那回过头再来看椭圆，这里面都包含了“定点”和“定值（2a）”的概念，那么我们不妨以圆的标准方程为参考，找到椭圆方程的表达式.

师：请同学们思考一下，圆中的定值需要满足大于0的条件，那么椭圆中的定值（2a）呢？

生：大于0！

师：没错，但是同学们能不能把这个范围再做进一步的缩小呢？大家看点M随点P运动的轨迹，当2a=FO时，会出现什么情况呢？

生：F、M、O三点共线，无法构成椭圆，所以2a还要大于FO！

师：很好.综合上述同学们的思考，我们得出以下结论（为了便于表述，我们可以将图1中的点F改为F1，点O

（1）椭圆属于平面范畴内的几何图形；

（2）点F1、F2通常被称为椭圆的焦点，同时要满足2a＞F1F2＞0；

师：请同学们参照上述的分析过程，认真的默读几遍椭圆的定义，

师：很好.那么请同学们思考一下应该如何获得椭圆方程的表达式呢？请参照图2.

图2 椭圆标准方程的推导

生：根据椭圆的对称性！

师：很好，那么有没有哪位同学想要来推导一下呢？

师：同学们可按照下述假定条件进行推导.（如图3所示）

设椭圆O上的点M（x，y），由MF1+MF2=2a，得

其中两名同学的实际推导过程（板书）如下表1所示：

表1 椭圆标准方程的推导和化简学生推导板书

3.椭圆标准方程化简

师：好，两位同学的化简过程都是一种可以采取的思路，但是我们来看生2同学化简到最后发现项数变得越来越多了，很难继续化简下去了，那么有没有其他同学想要尝试化简一下呢？

师：好，大家请注意老师的化简过程.c

师：请同学们看一下上式的形式，等号左边符合（m+n）（m-n）的形式，等号右边则是（m-n）2的形式，所以继续化简如下：

也即：（a2-c2）x2+a2y2=a2（a2-c2）………（2）

化简到这一步，是不是和生1同学的结果完全相同了.

生：没错，是的.

师：很好，为了进一步简化椭圆方程，我们可以令a2-c2=b2（a＞b＞0），

师：通过今天的学习，我们主要掌握了椭圆标准方程以及推导化简的方法.要完成一个推导化简的过程，可采用的方法并不是单一的，不同方法在运算的难易程度上也有着较大的区别，所以老师想请同学们在后续的复习中思考如下几个问题：

1.本节课所学习的两种化简方法哪个简单，哪个复杂，为什么复杂？

2.通过椭圆标准方程我们能够得出椭圆的哪些几何性质？

3.在你发现的这些椭圆的几何性质中，有哪些是可以通过表达式表述出来的？

在下节课的学习中，让我们一起来回答上面几个问题.

结语：数学是注重思维逻辑的学科，用符合不同年龄段的学生学习规律的学习方法才能更好地达成教学目标.课标中对高中段学生数学核心素养的界定，帮助教师明确了教学的基本要求，有助于教师在课堂——这一教学主要场所中更好地发挥教学的能动性；其次，有效提问是连接不同教学内容来启发学生主动思考的有力工具.在上述微课的教学设计中，即采用了大量的启发性提问，不断地引导学生自主思考，一方面提高了学生的参与性，同时也有助于帮助学生加深认知，并逐步养成针对运算问题自主总结、积极归纳运算方法的好习惯.综合来看，在本次的微课教学设计中，教师的主导性仍然过高，在很多结论的得出方式上仍然以教师总结为主，在后续的教学过程中可以进一步激发学生的自主性，让学生一步步的自主探索、总结、归纳，通过让学生全程参与到思考和问题分析的过程中，来帮助学生获得更为明晰的学习成就感，并在此过程中更好地塑造和培养学生的数学运算核心素养.W