学习进阶：思维课堂发展核心素养的新样态

☉江苏省宜兴市丁蜀高级中学 吴湘芸

数学概念的学习是数学学习的核心，反映了现实目标的数量关系与空间方式的本体特征，学生从数学课堂中学习到数学概念，进而形成良好的认知结构.数学思维是从数学的角度来思考问题和解决问题的思维活动方式.学生在数学课堂上围绕着数学概念逐步展开学习探究，从简单到复杂，从单一到综合，从浅层到深度，有层次地进行思维进阶，以促进概念的优化理解，从而逐步提升学生的数学素养.

一、创设思维情境，探索概念形成

问题指引思维.课前根据上课内容设置阶梯问题，课中根据学生的实际情况适当修改问题.问题带有明确的指向性，可以启迪学生的思维，增强学生的探索动机.把握学生的思维方向，让学生在问题情境中抽象出原始概念，然后通过实验加以完善.在实践过程中尽可能地让学生合作探究或自我表达，并引领学生发展思维能力，引发学生对学习的关注和反思，从而让学生感受到学习概念的过程其实是自然有趣的，增加学生的学习兴趣.

例《椭圆的几何性质》中的离心率的探索

操作的简要过程：大家观察一下椭圆和圆的形状，发现有何不同？

生：圆的形状都是相同的.

生：一个比较圆，一个比较扁.

师：这两个椭圆的扁平程度不一样，为何会产生如此差异？

发现：注意到两个椭圆方程中a的数值相同，b的数值不同，b越大椭圆越圆，b越小椭圆越扁.

思考：选用什么样的量来刻画椭圆的“扁”的程度呢？

提问：刻画“扁”的程度还有其他量吗？

实验：（1）将一根细绳的两个端点固定在焦点处，用笔尖拉紧绳子，在平面上画一个椭圆，然后调整绳子的长度（分别加长与缩短），并观察椭圆的“扁”的程度的变化规律；（固定c不变，改变a）

（2）细绳的长度固定不变，将焦距分别增大和缩小，观察椭圆的“扁”的程度的变化规律.（固定a不变，改变c）

设计意图：让思想发生，学生自由发言.让学生通过实验直接体会选用，因为a，c是定义中出现的量，并且a，c是确定椭圆的“原始”量.

结论：实验1：a越大，椭圆越圆；a越小，椭圆越扁.

实验2：c越小，椭圆越圆；c越大，椭圆越扁.

实验结果说明椭圆由圆向扁的转变与a是成“反比”的关系，与c是成“正比”的关系.由于椭圆“扁”的程度与a，c均有关系，且比值不同，所以用来刻画比较好.

由于a2=b2+c2，所以也可用越趋近于0时，c越接近0，则b越趋近于a，因此椭圆越圆；当越接近于1时，c越接近于a，则b越小，因此椭圆越扁.也就是增大时，椭圆越来越扁.

“离心率”这个名词非常形象：在a的值确定后，c的值越大，焦点距离中心越远，椭圆就越扁.

二、寻找思维起点，把握概念内涵

学生在学习新的概念时，往往尚未完全理解，便已经开始对概念进行记忆.但是一旦遇到变化形式的题目时，往往不会灵活运用到解题过程中.因此课堂中应努力架设思维进阶的桥梁，使学生找准思维进阶的起点，即要从题目中寻找对应的数学概念，紧紧抓住核心概念，不断地启发思考，找到思维路径，加深学生对概念的理解.

例已知（fx）=log3x，则满足（fx）≥0的x的取值范围是______.

分析：有学生说看到题目之后想画出函数图像，但是没能成功.教师引导学生审题，从读题开始，帮助学生铺设思维路径.

思维进阶：先回到起点，学生已经学习了函数的性质，就应该从函数的性质入手.教师不妨提问：“函数有哪些性质？”此时学生开始发言：“单调性、奇偶性等等.”实际上应该先考虑定义域，这个很容易求解.也有学生很快地发现函数单调递增，然后画图、求解，就顺利多了.

三、铺设思维阶梯，掌握数学概念

课堂中让学生自主选择作答，从题目的答复中往往能够推测出学生掌握知识的具体层次，探求思维困难的本源，进而帮助学生铺设思维阶梯，连接思维道路，引导学生精确深刻地理解概念，多角度地解析概念.

1.使用辨析思维使概念完善

通过题组辨析，从本质上理解概念.通过正面论证、反面举例，增强学生的思维辨析意识，增强学生的思维严密性.

例下列各组函数中，表示同一个函数的是______.

分析：本题主要考查的是对同一函数这一概念的理解.函数的三要素是定义域、值域、对应法则.

2.通过类比思维使概念清晰

高中数学有很多概念具有共同属性，可以类比记忆.通过概念的类比把握概念的实质，使概念深化，思维拓展，丰富层次，产生相似联想，并在脑海中构造完整的知识网络，从而加深知识点之间的联系，让思维更加深刻.

例圆锥曲线中的椭圆、双曲线、抛物线复习时，都能从定义、标准方程、图形、范围、顶点、焦点、准线、对称轴、离心率等对比记忆.在复习直线与圆锥曲线的位置时，也能够合并起来，然后增加特殊情况.

例 已知圆x2+y2=4，直线l：x=4，圆O与x轴交于A，B两点，M是圆O上异于A，B的任意一点，直线AM交直线l于点P，直线BM交直线l于点Q.求证：以PQ为直径的圆C过定点，并求出定点坐标.

思维进阶：将圆改成椭圆其实，原题中kAM·kBM=-1，而改题后变为.如果发现这个规律，就会发现两题解法的共通之处.

四、训练思维创新，应用核心概念.

课堂中运用多种解法展示思维的递进，让学生从多角度思考问题，使概念得到充分运用.然后从不同路径寻觅解决问题的方式，巩固概念，提高学生的思维能力，并熟练地应用概念来解决问题.

（当且仅当m=n=2时取等号.）

高中数学概念课教学应重视学生的思维发展，将思维贯穿到概念学习过程的始终，使学生形成自主思考、思维参与的好习惯，在不断的概念学习中进行学习进阶，从而有效提升思维的深度与广度，培养创新精神，促进全面发展.W