基于缺失数据下混合拉普拉斯分布参数的估计

徐圣楠，王秋爽

(吉林师范大学 数学学院，吉林 四平 136000)

0 引言

近年来，众多学者对拉普拉斯分布做了深入研究，史建红等[1]对服从多元拉普拉斯分布的无条件期望提出了估计方法.Xiongya Li等[2]在Robust mixture multivariate linear regression by multivariate Laplace distribution中利用多变量拉普拉斯分布是多变量标准正态分布的标准混合，设计了一种有效的数学算法来实现所提出的鲁棒估计程序，从而提出了一种适用于多变量线性回归模型混合的稳健估计方法.在分析观测数据时常会出现数据缺失的情况，赵志文等[3]讨论数据信息不能完整时两个拉普拉斯分布总体参数估计与检验问题.Chul-Ho Noh等[4]在Analysis of fault characteristics in LVDC distribution system using Laplace transform中利用拉普拉斯变换进行理论分析，并选择电磁瞬变程序模拟工具来模拟和验证理论分析的结果.

根据上述文献，继续研究缺失数据下混合拉普拉斯分布总体的参数估计，由矩估计和MATLAB得出参数估计结果并验证了其正确性.

1 矩估计及其渐近性质

假设有四个混合拉普拉斯分布，其密度函数分别为

首先取q为常数0.4，(1-q)为常数0.6，然后分别取θi>0(i=1，2)为两个总体的未知参数，ηi>0(i=1，2)为另两个总体的未知参数，接着顺次独立观测混合拉普拉斯分布n次，抽取分布总体做样本观察时，记1-p为缺失样本时的概率.用Xi为第一个总体的第i个样本观测值，i=1，2，…，n，且(Xi，δi)为第一个分布第i个总体观测值，若没有观测到第i个样本记δi=0，观测到记δi=1，用Yi为第二个总体的第i个样本观测值，i=1，2，…，n，且(Yi，βi)为第二个分布总体第i个总体观测值，若没有观测到第i个样本记βi=0，观测到记βi=1.

下面对参数θ1，θ2进行研究.由(Xi，δi)，i=1，2，…，n，得出矩估计方程

其中：

EX=θ1q+θ2(1-q)，EX2=3θ12q+3θ22(1-q)+2θ1θ2q(1-q) .

得到方程解

同理求出另一组观测值(Yi，βi)，并得到η1，η2的矩估计

接着由参数θi(i=0，1)，ηi(i=0，1)的矩估计，可证出其相合性以及渐近正态性.

证明 {Xiδi，1

并且：

E(X1θ1)=E(X1)E(θ1)=P(θ1q+θ2(1-q)) .

同理得到

于是有

定理2由前面记号，有：

证明 令Wi=(δi，δiXi，δiXi2)T，{Wi，i≥1}为独立同分布随机变量序列，从而

E(W1)=(P，P(θ1q+θ2(1-q))，P(2θ12q+2θ22(1-q)+θ1q+θ2(1-q))) .

令∑=E(W1-EW1)(W1-EW1)T，于是有多元中心极限定理得到

根据引理1

同时

同理令

依据引理1

其中

同理证出

2 随机模拟

表1 模拟结果

当数据不完整时,混合拉普拉斯分布的参数矩估计具有渐近正态性，通过矩估计的方法进行500次的随机模拟得到结果见表1，参数估计值的误差都在正常值范围内，再次证明矩估计方法的可行性.