用核心问题导学让探究活动“好玩”
——《密铺》教学实录与评析

执教/ 田玉平

评析/ 焦波（特级教师）

【教学内容】

北师大版四年级下册第76～78 页。

【教学过程】

师：课前我们先来玩个游戏好不好？（课件出示俄罗斯方块）

师：这是游戏中的画面，让我们用数学的眼光来观察、分析，你有什么发现？

生：图（1）、（4）、（6）为一类，因为它们都是图形的平移运动。

生：图（2）、（3）、（5）为一类，因为它们都是图形的旋转运动。

师：在玩这个游戏的时候，我们要将一个基本图形进行平移或旋转运动，一个挨一个拼完整、无缝隙、成整行时才能得分。生活中这样的图形的变换随处可见，今天我们就来一起玩一玩数学中的“图形变换”。

【评析：田老师以玩“俄罗斯方块”游戏开课，激活了学生的活动经验，沟通了数学知识与生活现实的联系。学生在鲜活的游戏中愉悦了情感，产生了主动学习的欲望。】

一、情境激趣，体会密铺

师：玩过游戏我们再来欣赏几幅漂亮的图片。淘气家最近要装修房子，装修公司给了一些图片供淘气家选择。在图片中你发现了哪些图形？这些图形是怎样拼在一起的？

生：在墙壁图中，有很多同样的长方形拼接在一起，而且这些长方形一个挨一个拼接时既没有空隙也不重叠。

……

师：像上面这样的三幅图，每幅图都有多个相同的图形没有空隙也不重叠地拼接在一起，在数学里有个专门的名词，就叫密铺。

（板书课题：密铺）

师：请你们判断下面的铺法是否是密铺，为什么？

【评析：通过创设与生活密切相关的情境，激发学生的学习兴趣。引导学生观察、比较和交流，找出三幅图共同的特点，初步理解密铺的含义。再通过反例强化铺垫概念的内涵，这样的教学符合学生的学习心理和认知规律。】

二、动手实践，探究新知

1．鼓励质疑，提出问题。

师：这节课我们研究简单图形的密铺。从以上三幅图我们知道了哪些基本图形可以密铺？

生：长方形、正方形、正六边形可以密铺。

师：通过刚才的观察思考，关于密铺你还能提出哪些问题？

生：我们已学的三角形、平行四边形、圆都能密铺吗？

生：圆不能密铺。

生：到底哪些图形能密铺？

生：为什么有的图形能密铺？有的图形不能密铺？

……

师：从刚才的发言看出，有两个问题同学们非常关注：一个是哪些图形可以密铺？另一个是图形密铺的原因是什么？接下来我们就重点研究这两个问题。

【评析：让学生从直观的图形密铺中，质疑并提出其他图形是否也可以密铺的教学是沿着学生思维路径拾级而上的教学。这样顺势而为地理出两大核心问题，既培养了学生提出问题的能力，又激发了学生主动学习的欲望。】

2．提出猜想，分组验证。

师：除了长方形、正方形和正六边形能密铺外，我们以前认识的这些平面图形能密铺吗？（课件出示：三角形、平行四边形、梯形、正五边形、圆、椭圆）

生：我觉得像圆形和椭圆这样曲边的图形不能密铺。

生：三角形、平行四边形和正五边形能密铺。

生：梯形不能密铺。

师：看来意见不统一！到底什么图形能单独密铺？谁猜得对？我们可以怎么办？

生：准备图片，动手铺一铺。

师：老师给每两人小组准备了基本图形的图片，放在①号学具袋里，请同桌打开①号学具袋（学具袋里都有某一种完全一样的基本图形图片若干，有直角三角形、锐角三角形、钝角三角形、平行四边形、梯形、正五边形、一般四边形、房子五边形）。同桌合作，动手铺一铺，验证你们的猜想！

师：通过动手操作，你有什么新的发现？

生：我发现梯形和一般四边形都能密铺，房子五边形可以密铺，原来我以为它们不能密铺。

生：我发现正五边形不能密铺，原来我以为它能密铺。

师：同学们对四边形中的梯形和一般四边形，对五边形中的正五边形和房子五边形能不能密铺是有疑惑的。这四种图形能不能密铺？我们用电脑来验证！（教师利用几何画板中现成的平面图形自由拖动、旋转进行验证）

【评析：此环节田老师让学生经历提出问题（提猜想）——分析问题（要验证）——解决问题（得结论）的数学化过程，得出三角形和四边形都能密铺的结论。对学生质疑的一般四边形和五边形能否密铺的问题，利用几何画板再次直观验证，这种直观释疑也为下文探究能密铺的原因埋下伏笔。】

3.深入探究，找寻原因。

（1）猜想密铺关联要素。

师：通过动手我们发现有的图形可以密铺，有的图形不能密铺，那图形能密铺的原因到底是什么？与图形的什么要素有关呢？

生：可能和图形的边有关，图形的边必须是直直的。

生：不同意！那为什么正五边形就不能单独密铺？

（出示一组对比密铺的图案）

生：可能和图形的角有关。

师：看来从图形边这个要素研究不好确定，那我们就从角这个要素来认真研究吧。

（2）探究密铺真正原因。

师：为了节省时间，我们就选择任意三角形、一般四边形、梯形和正五边形来研究。老师也准备了这些基本图形的图片，放在②号学具袋里，请同桌打开②号学具袋（每个学具袋里都有某一种完全一样的基本图形图片若干）。我们分组探究任意三角形和四边形可以密铺的真正原因是什么。

师：为了方便研究，老师在印图片时就把每个三角形和四边形相等的角都标上了相同的序号。先铺一铺、再想一想、最后议一议，看看有什么发现？（学生再次拼铺，教师适时引导学生观察拼接点处有几个角）

生：我们小组密铺的基本图形是锐角三角形，我们发现拼接点处有六个角，相当于是两个三角形的所有角，一个三角形的内角和是180°，两个三角形的内角和就是360°。（一般四边形、梯形学生汇报略）

师：那能密铺的真正原因是什么？

生: 看密铺图形拼接处的所有角之和是不是360°。

师：正五边形为什么不能密铺呢？哪个小组是正五边形？

生：我们小组是正五边形，我们发现拼接点处，三个角拼少了，四个角拼又多了，不能刚好拼成一个周角360°。

【评析：密铺是“综合与实践”领域的教学内容。教师采取自主探究为主要的学习方式，让学生选择一种图形再次拼铺，既让学生进一步体会图形密铺的特点，又可以让学生了解图形可以密铺的原因。教学中，教师给学生提供了数学思考的时间和创造性思维的空间，让方法演绎策略，让探究启迪思维。这种真实的思考，理性的思维，才是数学学习最需要经历的，也体现了核心素养背景下的课堂从“以对话中心的课堂”到“以任务中心的课堂”的理念。】

三、课堂拓展，思维延伸

1.看图感受组合图形的密铺。

师：刚才我们研究了同一种图形单独密铺的情况，在生活中还有许多不同图形的组合密铺。请看课件演示，说一说各是哪几种图形在一起密铺的。

2．看课件了解密铺的历史。

师：图形的密铺能给我们的生活带来很多美的元素和色彩，密铺的数学知识有着悠久的历史，运用密铺也能装扮我们的生活，让世界更美丽！我们一起看看密铺的神奇世界吧！（屏幕动态播放密铺的数学史）

【评析：“综合与实践”活动提倡拓展，主张延伸，强调数学知识与现实生活的联系。田老师以赏析的方式让学生由一种图形单独密铺到几种图形组合密铺，再到不规则图形也能密铺的拓展，是向“数学好玩”的教学目标“激发兴趣，渗透思想，启迪思维、积累经验”迈出的坚实一步。最后通过密铺数学史的展示，让数学文化彰显魅力，提升数学意识，陶冶数学情操。】

四、反思全课，提炼升华（略）