“退”“推”之间“玩”出智慧*
——六年级《玩数学棋》一课的教学与思考

【设计理念】

1.“玩”中碰壁，问题让智慧生根。

在现实教学中，数学教师虽然都致力于儿童思维能力的培养，可有时收效甚微。究其原因，儿童常常因为面对的问题是“伪问题”而兴致不高，内驱力大打折扣，致使其缺乏主动思考的意识与能力。那么，怎样寻找“真问题”？怎样让儿童的内心长出“真问题”呢？只有让儿童有真实的在场感，他们才能真正把面临的问题视作自己的问题，才能有积极的心向，主动寻找解决问题的策略。康德说：“教育即自由。”自由既是儿童的天性，也是需要我们为他们创造的条件。“爱玩”是儿童的天性。那么，怎样让儿童以“玩”的精神参与数学学习，让儿童自由地“玩”，创造性地“玩”，玩出智慧呢？在教学中，为儿童创造值得“玩”的场域很重要，因为儿童在能玩而又不能驾驭的矛盾中，各种问题就自然产生了，智慧就有了“抓地力”。

2.“玩”中探索，困难驱智慧生长。

问题越明晰，解决时的方向就越明确。面对各种问题，怎样通过比对、抽象让儿童直面本质问题，并梳理出主线问题呢？于是，“接下来怎么思考呢？”就成了直接驱动儿童思考的主线索。教学中，教师往往更在意怎么帮学生解决眼下的问题，而深陷于寻找具体的步骤、方法或策略。事实上，“你是怎么想到的？”才是最重要、最值得思考的问题。所以，教学中更需要让学生始终抱有客观审慎的态度，学会反向思考——“我之所以不能前进，困难在哪里？”，退到自己能确定、能解决的问题处，然后不断扩大思考范围，挖掘思考深度，从而解决问题。

3.“玩”后自省，方法助智慧生成。

获得问题解决的喜悦是教学追求的目标之一，但不是终极目标，沉淀下经验、方法才可能生成智慧。所以，在教学中，要让学生有静下来再思考和慢下来再玩味的机会。如此，才能促进他们完善认知结构，提升应对未来的能力。

【教学目标】

1.通过玩数学棋积累数学活动经验，体验研究问题的策略，并在此过程中着力培养推理能力。

2.在交流分享中学会辩证地倾听，并有理有据地表达自己的推理过程。

3.在活动中进一步感受数学的亲切感与趣味性。

【课堂实录】

一、谈话：引出玩棋游戏

师：同学们，今天我们一起来玩（板书：玩）。说一说，你会玩些什么？

生：会玩游戏、围棋、扑克、篮球、围棋……

师：同学们会玩的东西真多！如果你就只是玩玩，很容易就没兴趣了；如果边玩边思考，你就会玩出水平，甚至还能玩出智慧。今天，我们就一起来玩数学棋（板书：数学棋），看看能否玩出新的体会。

二、比赛：思考玩棋中的问题

1.比赛，好奇中引发问题。

（图1）

（1）教师讲解游戏规则：瞧！这就是棋盘（如图1），左下角有一个红旗（放上红旗磁块），表示终点。在棋盘右上角有一枚棋子（放好黑色磁块），两人轮流移动这枚棋子，每人每次只能向左、下或左下移动一格（板书：），谁先移入红旗格谁就获胜。

（2）指名一男一女两个学生玩

师：你俩谁先走？

男生：女生优先。

师：真有风度！其余同学注意观察，看他们是否符合规则。好，开始！

很快，比赛结束，男生输了。

师：我宣布，这一轮，女生获胜。（举起女生的手，然后采访男生）刚才你输了，想不想再玩一次？（男生欢喜地点头）

师：大家猜猜他这时在思考什么问题？

生1：先走，还是后走？

生2：朝哪个方向走呢？

师：同学们说的其实是同一个问题——怎样才能赢呢？那么，有没有必胜的策略呢？

2.尝试，初步探明研究方向。

（1）同桌尝试玩2次，思考初步的方案

师：同桌的桌上有这样的材料袋，先将笑脸磁块放到终点格，再找到起点格。同桌共玩2次。边玩边思考：怎样才能必胜呢？

同桌玩，教师巡视，收集学生的想法。

（2）谈话，让学生明确研究方向

师：刚才，同学们玩得很高兴，你们找到必胜的对策了吗？（少数人举手）

生1：我觉得后走的肯定赢，我两次都后走的，两次都赢了。

生2：反对，我也后走的，没有赢。

生3：我先走的时候也赢过。

师：呀，看来这个问题挺复杂。想一想，它究竟复杂在哪里？

生1：方向很多，情况很多，很复杂。

生2：而且你不能控制对方，指定他怎么走，所以有很多不确定因素，太复杂了。

生3：棋盘这么大，步数又多，很复杂。

师：面对这么复杂的问题，应该从哪里开始研究呢？（学生思考，但无所得）

师：你们真是下到最后一步才知道输赢的吗？

生1：我们到“田字格”里就知道了。

生2：我们到“九宫格”就知道了。

师：那我们就从最简单的、能确定的那一步开始研究，好吗？

师（出示2×2情况）：刚刚有人说到这种情况就可以确定了，谁能解释解释？

生：谁先到这三个虚线圈格中的任意一格（如图2），对方都可以直接进入红旗格，所以这三格是必输格。

（图2）

师：我们给这三个必输格做个记号“×”（如图 3）。哎，我们要找必胜的方法，却找到了必输点，这对我们找必胜的方法有用吗？

（图3）

生：有用。可以借助它往外推。

师：那么，接下来，我们该怎么研究？

生：我们可以把棋盘扩大，研究3×3情况。

同桌研究，相互交流；教师巡视，然后请一对同桌发言。

生1：谁先到图中2个圆圈格（如图4），谁必胜。因为到了圆圈格对方只能向下（向左）走，这样对方只能进必输格，对方必输，我必赢。

（图4）

生 2（补充）：B、C 有两种可能，不能保证自己必胜。但A不管怎么走都可以抢到必胜格。所以A点也是必胜格。总之，谁先抢到这三个格，谁必胜。

师：我有个疑问，我先到A，万一对方向左下方走呢？这种情况你们没说哦。

生：哈哈，那对方就自投罗网了。进了必输格，必输了呀。

（图5）

师：好的，我们用记号“√”表示必胜格（如图5）。谁先到必胜格，谁就有了必胜的方法。看来，只要我抢到必胜格，我肯定就赢了。

师：这么大的棋盘，我们目前只研究出这一小块，接下来怎样研究？有没有更好的方法找到必胜的策略呢？

3.深究，推理标记中明确对策。

（1）自主研究：先同桌研究，接着4人小组讨论，推选代表准备发言。

（2）汇报，交流

第一组汇报（边说边借助教师的棋盘演示）：我们接着研究了4×4情况，发现谁先到4×4外围中任意一格，对方都能抢先到3×3外围中的必胜格，所以4×4这一圈都是必输格。那么5×5一圈中必有必胜格，因为每人只能走一步，所以必胜格是间隔开的，再根据方向就能确定必胜格了。以此类推，就能找到所有的必胜格了。

第二组汇报（边说边借助教师的棋盘演示）：我们发现1个必胜格周围总有3个必输格，再根据如果只从一个方向考虑必输格后就是必胜格，能推得整个棋盘上所有的必胜格。

第三组汇报：我们是用九宫格来思考的，红旗格其实就是一个必胜格，我们假定这个必胜格在这里，就相当于把整个九宫格一起复制，移动到这里（如图6），这样就能用之前的方法确定这个九宫格里的必胜格，再用这样的方法就能找到所有的必胜格。

（图6）

师：谁听懂了他们的研究成果，他们的研究方法与第一、二组有什么不同？

生：第一、二组都是借助必输格来推想必胜格的，第三组是借助必胜格直接推的，也就是在3×3情况的基础上直接用模块覆盖的方式推理出来的。

师：变换研究基点，可以直接推理得到结果，真的非常巧妙！数学研究就是这样，要善于借用已经研究出的成果来研究新的问题。

（3）观察，发现

师：现在谁愿意和我玩数学棋？

生：我来下，但必须得让我先走。

师：好的，看你小，就让你先走。

师：为什么还没下完棋，你们就判定他赢了？谁来解释？

生：先走的人每一步都能抢到必胜格，所以他必胜。

师：请同桌再玩，体会体会赢的对策。

三、回顾：提炼玩棋中的收获

师：此刻，让我们静下心来，回顾刚才寻找必胜对策的整个过程，你有什么特别想和别人分享的？谁能简单地说一说？

生1：面对复杂的问题，一时不知道从哪里入手，可以从简单的、能确定的地方开始研究。

生2：也可以在初步研究的基础上，把这一步研究的成果打包、复制、粘贴来进行研究，这样更快捷。

师：是的，面对复杂的问题，最好的对策就是“退”，退到最简单又能保持原问题本质的地方开始研究，再以“退”为“进”，不断推测、推想、推理，把简单问题的研究成果“推”广到更复杂的情况，从而解决问题。

【教后反思】

从教22年，笔者由最初关注教学技艺的增长慢慢转变为关注儿童的成长，关注教儿童带得走的数学，努力构建逻辑与直觉、理性与感性、文化传递与创造兼备的课堂生态，以期促进儿童成为敏于反思质疑、自省自纠、善于“悟”的人。上述教学中，笔者努力构建一个充满自省意味的课堂，让儿童在“退”“推”之间玩出智慧。

1.一“省”主要问题。

课始，男女生代表在擂台赛中比拼，“纯玩”中似乎全凭运气，学霸在这里也不管用了。输了的学生自然想再玩一次，教师并没有立刻让他们玩，而是利用一句“猜猜他在思考什么”引发学生思考。在“先走”还是“后走”的辩论中，在不同方案的预设中，引导学生第一次反省：有没有必胜的策略呢？并带领学生抓住这个主线问题开启了探究之旅。

2.二“省”研究路径。

真正的探究充满未知——方向未知、路线未知、成功与否未知。怎样让儿童有兴趣并有信心探索，即使束手无策也要努力思考，坚信也许答案就在下一个转角呢？（1）“想一想，它究竟复杂在哪里？”学生有时会囿于困难中受伤的情绪，而并未理性思考究竟难在哪里。教师此时的点拨就显得尤为重要。在明确困难的过程中，学生悟的方向太多，就可以分类思考；棋盘太大，就可以缩小思考范围；步数太多，不能控制对方怎样走棋，就从能确定的地方入手。这样的自省活动有助于学生理清思考的方向与路径。（2）“你们真是下到最后一步才知道输赢的吗？”解决问题难，并不是难在怎样解决这个问题，而是难在“你是怎么想到的”。教师一语惊醒梦中人，让学生明白：复杂的问题可以从简单的、能确定的部分做起。

3.三“省”优化策略。

在思考问题的过程中，学生有时会陷入细小环节而忽略主线问题。当学生为研究清楚了2×2情况而欢呼时，教师引导他们内省：我们要找必胜的方法，却找到了必输点，这对我们找必胜的方法有用吗？事实上，在曲折的研究过程中，学生需要时时问自己“这对我的研究有价值吗？”“接下去怎样研究？”“怎样逼近我要寻找的答案？”在学生研究完2×2、3×3情况后，教师没有让学生按惯性走下去，而是以“这么大的棋盘，我们目前只研究出这一小块，接下来怎样研究呢？有没有更好的方法找到必胜的策略呢？”这个问题来引导学生不断突破思考阈限。学生或借助必输格来推必胜格，或借助必胜格环绕3个必输格来平铺推理，或通过简化方向一类一类地思考来推理，或直接将九宫格复制粘贴研究。在“复制粘贴法”出现时，学生连连发出赞叹声、鼓掌声，甚至有学生由衷地说：善于利用已有的成果真重要！

4.四“省”经验方法。

就在学生终于探得解决问题的策略，沉浸在成功的喜悦中，感受到原来秘诀如此简单时，教师引导学生从高涨的、热闹的气息中抽离出来，静思探索过程，用简单的语言分享收获。让学生悟得：面对复杂的问题，可以退到最简单而又不失其本质的地方，从能确定的简单之处入手寻找方法，再以探得的成果为基础，不断推想、推测、推理，从而化复杂为简单，最终成功地解决问题。

总之，在“玩”的过程中，学生一次次跌倒思考，又一次次起身前行，在“退”“推”之间，玩出了智慧。