考虑边界约束条件的悬索桥有限元模型修正研究

邹向农，龙俊贤，阳德高，胡朋，韩艳



考虑边界约束条件的悬索桥有限元模型修正研究

邹向农1，龙俊贤1，阳德高2，胡朋2，韩艳2

(1. 中铁武汉勘察设计研究院有限公司，湖北 武汉 430074；2. 长沙理工大学 土木工程学院，湖南 长沙 410114)

针对以往模型修正过程中常忽略边界约束条件影响的问题，为考虑大桥初始有限元模型中边界约束条件与实际情况的差别，以某塔梁分离的悬索桥为工程背景，以现场动载测试结果为基本依据，采用Combine14单元模拟该悬索桥加劲梁的纵向约束作用，运用响应面方法并结合大桥特点选取一系列算法组合考虑了边界约束条件对悬索桥初始有限元模型的影响，并对其进行修正。研究结果表明：考虑了边界约束条件的修正结果与悬索桥实测值更为接近，且各修正参数的修正量均在合理范围内，验证了上述考虑边界约束条件的方法在有限元模型修正中的有效性。修正后的模型可以作为该悬索桥的基准有限元模型，并可为大桥的进一步响应分析提供基础。

有限元模型修正；边界约束条件；响应面法；动载试验

随着计算机技术的高速发展，有限元方法在桥梁结构中已获得广泛的应用，建立一个准确的有限元模型对于结构的静动力响应分析、损伤识别、健康监测等起着至关重要的作用。初始有限元模型通常依据现有的设计或施工图纸建立，由于施工、材料隐藏缺陷、建模过程中不同程度的简化和假定等影响，使得有限元模型与实际结构会存在一定程度的偏差。为修正这种偏差，研究中常利用静动力试验结果，对初始有限元模型的刚度、质量、边界约束及几何参数等进行修正，在保证模态参数自身精度的前提下，使修正后有限元模型的计算结果更接近于试验值[1−2]，修正后的模型更能如实地反映实际结构的力学行为。传统的桥梁有限元模型修正通过修改系统的质量矩阵和刚度矩阵，使修正后模型的计算值与实测值相同。但该方法有2大不足，一是基于灵敏度分析的有限元模型修正需要进行迭代计算，每计算一次就需要调用有限元模型一次，模型修正所需的时间长、计算量大；另一个是复杂结构进行模型修正时修正的参数较多，需要多次有限元计算，不易实现。相比之下，基于响应面方法的有限元模型修正更具有优势，首先在参数的整个设计空间范围内利用试验设计和回归技术，以显式的响应面函数模型代替复杂的结构特征响应量与设计参数间复杂的隐式关系，从而得到简化的结构模型；在此基础上，进行迭代计算，这不仅可避免每次迭代都需要调用有限元模型进行计算，而且基于方差分析的参数筛选是在整个设计空间范围内，改善了传统局部灵敏度分析筛选参数的弊端，大大提高了模型的修正效率，因而使其在桥梁结构有限元模型修正中得到了广泛的应用[3]。基于响应面方法，任伟新等[3]利用某6跨连续梁桥环境振动试验结果对大桥初始有限元模型进行修正，取得了比较显著的效果，并验证了运用响应面方法进行有限元模型修正的有效性和高效性。魏锦辉等[4]利用某桥的现场静动力响应测试结果，考虑结构材料特性与几何参数等因素，利用响应面技术对该桥的初始有限元模型进行修正，并建立了该桥的基准有限元模型。周林仁等[5]考虑材料特性与质量配比等因素，通过建立径向基函数响应面模型，以斜拉桥自振频率和静态索力构造目标函数，对该大桥的实验室物理模型进行修正并取得了比较良好的效果。李刚[6]采用基于响应面的模型修正方法，分别对工字钢梁、足尺轨道梁和三跨连续梁的有限元模型进行修正，并对比静力法、动力法和联合法的修正效果，同时探讨了采用动态权重法构造目标函数的作用和适用条件。王蕾等[7]利用某大桥模态频率实测值，以对应的桥面单元、中墩、边墩的弹性模量、密度等设计参数为修正参数，构造径向基神经响应面模型对该大桥的初始有限元模型进行修正，取得了理想的效果。以上研究均采用响应面方法对桥梁有限元模型进行修正，且取得了比较理想的效果，但需要指出的是，以上桥梁边界约束条件均较明确，研究中也未针对桥梁的边界约束条件进行修正。本文拟研究的某大桥为塔梁完全分离的大跨度悬索桥结构，这与以往同类型桥梁的边界条件约束不同。该大桥自建成通车以来，由于施工工艺、材料隐藏缺陷、长时间运营及纵向约束模拟不确定性等因素，通过设计图纸建立的初始有限元模型会与实际结构有所差别，对其进行初始有限元模型修正、建立更符合实际情况的有限元模型有一定的必要性。研究中采用Combine14单元模拟悬索桥加劲梁的纵向约束作用，以Combine14单元刚度值等为修正参数，利用大桥现场动力测试数据结果，采用响应面方法对初始有限元模型进行修正，为大桥进一步的分析提供有限元模型基础。

1 基于响应面方法的桥梁有限元模型修正算法选取

基于响应面方法的桥梁有限元模型修正，是数理统计与模型修正技术的集合。其基本思想是在实验设计的有限次有限元计算的基础上，拟合得到结构特征响应量与各设计参数间的显式函数关系，并用此响应面模型代替结构初始有限元模型进行迭代计算，实现结构有限元模型的参数修正[8-10]。鉴于响应面方法的高效优势，本文采用响应面方法来进行考虑边界约束的有限元模型修正。

样本的选取关系到响应面模型的精度和计算效率，如何用最少的样本点获得理想的响应面模型至关重要。进行响应面常用的设计方法有中心复合设计、全因子设计、正交设计、均匀设计和D-最优设计。由于D-最优实验设计方法在进行实验设计时所需计算次数较少，且用于大规模模型的响应面建模精度最高[8]，经过对比，本文采用D-最优实验设计方法进行实验设计。

基于方差分析方法的参数筛选，是在实验设计得到有效的样本数据后，从全局的角度出发，利用方差分析方法对整个样本数据进行显著性分析，筛选出对特征量影响显著的参数，克服了基于灵敏度分析方法只计算了特征量局部灵敏度的严重不 足[8]。由此，本文采用基于方差分析方法来进行参数筛选。方差分析方法首先求得样本数据中由因素引起的平方和A和由实验误差引起的平方和E，然后分别除以各自由度得到均方回归(简称MSR)和均方残差(简称MSE)，求出值。应用值检验 法[9]进行假设检验，找出显著性参数，其计算如式(1)所示。对于给定的显著水平，检验法则为：若≥1−α(ƒA, ƒE)，则认为设计参数显著，否则认为不显著。

式中：ƒA和ƒe分别为因素和偏差的自由度。

根据结构特点及实验设计方法的选择，经过对比，本文选取如式(2)的二次多项式形式的响应面函数模型：

式中：E为样本数据的误差平方和；T为样本数据的总偏差平方和；T为模型的总自由度；E为模型的偏差自由度；若2和2adj都接近于1且二者的差异较小，则认为响应面模型较好的拟合了样本数据；若2adj和2pred都接近于1且二者之差在0.2以内，就表明所建立的模型能够对未知数据进行良好的预测。

在经过上述步骤后，有限元模型修正转化为求下式函数最优解的数学问题：

式中：为设计参数；ƒE为试验值；ƒA为有限元模型分析值；λ为各特征响应量的权值，和为参数设计空间的下界和上界，本文采用遗传算 法[11]对响应面函数进行优化求解。

综上，本文采用基于响应面方法来进行桥梁有限元模型修正，在具体算法选取中，经过反复对比，在实验设计方法选取中，采用D-最优实验设计方法；在参数筛选中，采用了基于方差分析的方法；在响应面函数模型的选择中，采用了二次多项式形式，并采用逐步回归法对变量进行拟合得到响应面模型；最后，在响应面函数优化求解中，采用了遗传算法。以上各种方法的组合，为考虑边界约束条件的桥梁有限元模型修正研究奠定基础。

2 大桥荷载试验与自振特性分析

2.1 工程背景

本研究的依托大桥为双层4车道高速公路、观光通道两用桥，桥型方案为塔梁分离的钢桁加劲梁单跨悬索桥，大桥主跨为1 176 m，桥面宽27 m，该大桥为整条高速公路的控制性工程，桥型布置如图1所示。

单位：cm

2.2 基于环境激励的大桥动载试验

课题组对该悬索桥进行了桥梁动载试验，主要测试仪器包括8个加速度传感器，8通道A/D采集器一台，导线若干及笔记本电脑相关设备。为了保证传感器与结构的同步移动，将传感器与结构采用胶水固接，以期达到良好的同步振动效果。考虑大桥跨度和仪器设备，研究中采用移动测量法进行试验，与传统模态试验方法相比，其具有试验成本低、精度好、效率高和操作性好等优点[12]。测试中以每个吊杆下的主桁架下弦点为测点，以45号测点为参考点，每次进行4个测点的试验，如(1+Z，3+Z，Y，1-Z，3-Z，Y，45+Z，Y)，(5+Z，7+Z，Y，5-Z，7-Z，Y，45+Z，Y)……(137+Z，139+Z，Y，137-Z，139-Z，Y，45+Z，Y)(Z表示桥梁竖向，Y表示桥梁横向，+表示桥梁左侧，−表示桥梁右侧)。考虑到环境变化(主要为温度变化)对结构自振特性的影响，测试时选择了在气温变化不太明显的阴天对桥梁进行了模态试验，以减少环境变化所带来误差。测试方案如图2所示。对实验所测数据，采用NEXT/ ITD[13]法对大桥模态参数进行识别，得到各阶模态实测结果如表1所示。

表1 初始有限元模型频率计算结果与实测结果比较

图2 测点布置

2.3 大桥初始有限元建模与自振特性分析

大桥初始有限元模型建立和自振特性计算由有限元通用软件ANSYS完成，主梁钢桁架杆件和混凝土主塔采用Beam188单元模拟，主缆和吊索采用Link10单元模拟。由于该桥的桥面系与钢桁架主梁上的钢纵梁相连，而钢纵梁以简支的方式与钢桁架主梁连接，这种连接方式使桥面系与主桁架结构分离，不参与整体受力，因此建模中桥面系采用Mass21单元模拟其平动质量和扭转质量，有限元模型如图3所示。基于分块兰索斯方法对结构进行模态分析，得到前四阶竖弯、一阶横弯和一阶扭转模态结果如表1所示。

由表1可知，实测各阶频率值稍大于初始有限元模型各阶频率计算值，说明桥梁实际刚度大于设计刚度。经研究，其主要原因在于，在初始有限元模型的建模过程中，根据设计图纸，桥梁在纵向为自由平动状态，而在实际桥梁结构中，包括伸缩缝、梁端横竖桥向的支座等各种因素会对桥梁的纵向位移产生约束，桥梁两端在纵向并不是简单的自由平动状态。此外，在多次试算过程中发现，纵向约束对桥梁自振特性影响较大。在后续的修正过程中，本文采用Combine14单元来模拟桥梁两端纵向约束的作用，并以Combine14单元刚度值等为修正参数，以期达到更为真实的修正效果。

图3 大桥初始有限元模型

3 大桥有限元模型修正

3.1 实验设计

根据该悬索桥结构特点和工程实践经验，选取吊索弹性模量1，桁架弹模2，钢桁架密度1，主缆弹模3，主缆密度2，塔柱混凝土弹模4和纵向约束弹簧单元刚度1等7个修正参数对初始有限元模型进行修正。经多次试算，各参数设计水平、空间范围取值如表2所示。

确定参数范围后，以大桥的前四阶竖弯频率1，2，3和4，一阶反对称横弯频率5及扭转一阶频率6作为响应特征量，并根据前述的D-最优实验设计方法进行实验设计如表3所示，并利用有限元计算得到样本值如表4所示。

表2 各参数取值范围

表3 D-最优实验设计

3.2 参数显著性分析

根据前述的方差分析方法，应用数理统计中检验法分析所选参数对特征响应量的显著性，计算各参数对特征响应量的水平值，并给定显著水平=0.05，如图4所示(由于参数较多，图中仅显示部分参数的显著性)，纵坐标表示值，横坐标表示各设计参数。限于篇幅，本文仅以一阶正对称竖弯响应面模型为例进行说明。

表4 有限元计算样本值

图4 各参数对一阶正对称竖弯频率显著性检验

由图4可知，各参数的一次项对一阶正对称竖弯频率的影响均比较显著，说明待修正参数的选取能够符合要求，在响应面函数中，一次项占主要成分，对响应面模型的精度影响较大。对含有1参数的交叉项，除12外，特征量响应均不大。说明1参数对特征量的影响相对较小。对含有2参数的交叉项，除21外，均对特征量产生较大影响，说明2参数对特征响应量的影响比较显著。同理，含有1参数的交叉项，21，13，12均对一阶频率产生较显著影响。对二次项，2，3和1均产生比较显著的影响。对于影响特别显著的参数，由于其值较小的变化会引起特征频率值发生明显的改变，因此对其参数范围的选取应该更加慎重。

3.3 响应面函数拟合与精度检验

1=0.129+7.565×10−4×1+0.01×2−6.641×

10−7×1+4.510×10−3×3−1.102×10−6×2+

6.813×10−5×4+1.176×10−3×1−1.297×10−4×

1×2−1.387×10−7×2×1+1.273×10−3×2×

3−1.606×10−7×2×2+1.229×10−4×2×1+

7.021×10−8×1×3+1.955×10−11×1×2+

5.101×10−8×3×2+9.969×10−9×3×4−

表5 各阶响应面模型精度检验

3.4 模型修正

利用得到的各阶响应面方程，构造如式(6)和式(7)的目标函数，根据前述的遗传算法对优化函数进行优化求解，本文采用单目标函数进行修正，并假定各阶频率的差异性相同，即各阶响应面函数的权值均取为1，各阶频率修正结果如表6所示，各参数修正结果如表7所示。

表6 各阶频率修正结果

表7 参数修正结果

基于以上修正过程得到的模型修正结果，由表6可知，频率误差值较修正前有了较大的改善，各阶频率相对误差值都在10%以内，且对三阶正对称竖弯频率有良好的预测，说明取得了比较良好的修正效果。对于各参数的修正量，均保持在合理范围内。吊索弹模、钢桁架弹模、主缆弹模和混凝土塔柱弹模均有不同程度的增加。其中，以主缆弹性模量改变量为16.5%最为突出，原因有2：其一，这与构件的实际受力大小有关，在悬索桥结构中，主缆是最为主要的受力构件，也是受力最大的构件，随着主缆应变的增大，主缆刚度也会适当的增大；其二，主缆护栏由4根高强钢丝构成，会对主缆提供一定的刚度，这在初始模型建模过程中是没有考虑的。同样，对于吊索弹模、钢桁架弹模和混凝土塔柱弹模，受力的大小、桥面板与塔柱中的钢筋骨架也会使相应构件的刚度增加。对于钢桁密度和主缆密度也有不同程度的增加，这是由于在初始建模过程中，没有考虑主缆上锁夹的质量和主梁上人行道观光桥及其他难以考虑到的附属设施质量。修正结果中等效弹性模量和等效密度的增加能够体现实际情况。同时，为考虑桥梁纵向刚度参数，本文采用纵向弹簧单元进行模拟并对其刚度进行修正，从而使修正后的有限元模型能够合理考虑悬索桥实际的边界约束条件。反之，经过反复对比试算表明，当模型修正过程中不考虑桥梁纵向约束刚度时，修正后的各个参数值明显偏离正常值，且有限元模型的修正结果也与试验值误差较大。以上结果表明，考虑边界约束条件修正在该类型大桥有限元模型修正中起着至关重要的作用。

综上所述，修正后的有限元模型各个参数均较合理，反映并验证了前述结合响应面方法并根据大桥特点选取的一系列算法组合在考虑边界约束条件的有限元修正模型中的有效性，该修正有限元模型能够作为大桥结构的基准有限元模型，并为下一步的大桥结构响应分析提供基础。

4 结论

1) 忽略桥梁结构各构件尺寸的变化，以材料特性与边界条件等为修正参数，采用响应面方法对初始有限元模型进行修正，最大相对误差为8.52%，最小相对误差为1.06%，较修正前有了较大的改善，且各参数修正量均在合理范围内，验证了响应面方法在有限元模型修正中的有效性和高效性。

2) 在以往的修正案例中，往往忽略了对边界条件约束的影响，本文以特殊的塔梁完全分离的某悬索桥结构为依托，考虑纵向约束的影响，用Combine14单元模拟桥梁的纵向约束，以Combine14单元的刚度值为修正参数对初始有限元模型进行修正，修正后的模型更符合实际情况且精度更高。以上结果反映并验证了本文基于响应面方法并结合该悬索桥特点选取的一系列算法组合在考虑边界约束条件的有限元修正模型中的有效性，可以为此类型的悬索桥结构有限元模型修正提供参考。

3) 修正后的有限元模型可以一定精度预测修正频段外的模态频率，进一步说明修正后的有限元模型有良好的预测功能，修正后的有限元模型更能够体现结构的实际状态，可以作为该悬索桥结构的基准有限元模型。

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(编辑 蒋学东)

Finite element model updating for a suspension bridge considering the boundary constraint conditions

ZOU Xiangnong1, LONG Junxian1, YANG Degao2, HU Peng2, HAN Yan2

(1. China Railway Wuhan Survey and Design & Institute Co., Ltd, Wuhan 430074, China; 2.,,410114, China)

The effects of boundary condition constraints are always ignored in the previous studies. To consider the differences between the boundary condition constraints in the bridge’s initial finite element model and those in the real bridge, a tower-beam separation suspension bridge was taken as the engineering background in the present study. Based on the dynamic loading test results in the field measurements, the Combine14 element was adopted to model the longitudinal constraint conditions of stiffening girders of the suspension bridge. By combining the response surface method with the bridge’s features, a series of algorithms were selected to consider the effects of boundary condition constraints on the bridge’s initial finite element model, and then to update its initial finite element model. The results show that the updated results with considering the effects of boundary condition constraints are much closer to the field measurements results of the suspension bridge, and the updating values of all updating parameters are in reasonable ranges, indicating that the above method of considering the effects of boundary condition constraints is effective in the finite element model updating. The updated finite element model can be taken as the baseline finite element model for the suspension bridge with providing the basic for further response analysis of the bridge.

finite element model updating; boundary constraint conditions; response surface method; dynamic loading test

10.19713/j.cnki.43−1423/u.2019.05.015

U446

A

1672 − 7029(2019)05 − 1223 − 08

2018−10−31

国家自然科学基金资助项目(51878080, 51822803)；湖南省自然科学基金资助项目(2018JJ3538)；湖南省教育厅科研资助项目(17C0056)

胡朋(1985−)，男，湖北黄冈人，副教授，博士，从事大跨度桥梁抗风设计理论研究；E−mail：hupeng@csust.edu.cn