考虑参数不确定性的台阶式边坡滑面强度参数反演分析

谷淡平，凌同华，黄阜



考虑参数不确定性的台阶式边坡滑面强度参数反演分析

谷淡平1, 2, 3，凌同华1, 3，黄阜1, 3

(1. 长沙理工大学 土木工程学院，湖南 长沙 410114；2. 湖南工学院 建筑工程与艺术设计学院，湖南 衡阳421002；3. 交通基础设施安全风险管理行业重点实验室(长沙理工大学)，湖南 长沙 410114)

基于极限分析方法和概率分析理论，提出考虑参数不确定性的台阶式边坡滑面强度参数反演分析方法。首先，结合极限分析上限定理和强度折减法，推导得到台阶式边坡安全系数的隐式求解公式。为有效提高计算效率，利用随机响应面法获得安全系数显式表达函数，并令安全系数等于1的条件下，得到强度参数和的反演关系式。在已知某一参数的统计规律基础上，通过参数的反演关系，获得待定参数的统计特征以及置信区间。结合工程实例，并与已有文献的结果对比，验证了本文所提出方法的有效性。

参数反演；参数不确定性；极限分析上限法；随机响应面法；台阶式边坡

在边坡稳定性分析中，通常需要根据土工试验确定岩土体的强度参数，并采用确定性的分析方法计算边坡的安全系数[1]。在边坡稳定性分析研究中，Mohr-Coulomb准则被广泛采用，其强度参数包括黏聚力与内摩擦角。实际工程中通常采用试验方法确定和。而对于一些自然条件下的岩土体，强度分布并不均匀，不同取样地点也会导致试验结果存在差异，强度参数不确定性较大，对稳定性分析计算结果将会造成比较明显的影响[2]。为了解决岩土体的这种特性，强度参数反演分析作为对实际滑面进行强度参数估算的有效方法，在实际工程中得到广泛的应用。反演分析通常根据滑动面的形状位置、孔隙水压和安全系数等已知条件，并基于合理假设，反算出滑面的综合抗剪强度参数[3−5]。参数反演分析能综合考虑导致滑坡发生的外部因素，而这些外部因素在土工试验中是难以考虑到的。因此参数反演分析得到的岩土体强度参数可以作为已知滑面特征边坡的综合抗剪强度参数。近年来，许多学者基于极限平衡方法发展了对滑坡抗剪强度参数的反演分析法[6−7]。但是传统的极限平衡方法在应用于反演分析时未考虑力矩平衡条件，导致其在理论上不够严谨。区别于极限平衡法，极限分析上限法将边坡滑移体简化为理想刚塑性体，根据相关流动法则确定破坏机构，并根据内能耗损率等于外功率的虚功原理建立虚功率方程从而得到极限分析上限解，因此具有更为严格的理论基础[8]。利用极限分析上限法求解安全系数时，涉及到非线性隐函数计算问题，计算效率较低。为了解决这一问题，本文采用随机响应面法来获得安全系数与输入参数的近似关系。随机响应面法采用Hermite 多项式建立近似的显式功能函数，能够有效地模拟复杂且非线性的隐式功能函数。李典庆等[9]证明了该方法模拟非线性隐函数问题时的高精度性。此外，环境的不确定性、离散性以及复杂性始终存在于边坡工程中，由此导致在边坡稳定分析中土体强度参数的取值同样具有很强的不确定性。许多学者在边坡稳定性分析中考虑了这种不确定性，以获得更能反映实际情况的稳定性结果[10−11]。然而，在分析复杂边坡问题时，尤其是涉及到上述非线性隐函数计算问题时，这些方法应用起来较为困难。针对传统分析方法的不足，本文基于极限分析方法推导台阶式边坡安全系数计算方程，通过响应面法获得显式的近似表达式，并得到强度参数之间的反演关系。考虑输入参数的随机性，得到待反演参数的置信区间，使得分析结果能更好地反映实际情况并留有一定安全储备，对实际边坡工程具有指导意义。最后结合工程实例证明本文方法的有效性。

1 台阶式边坡稳定性分析

1.1 边坡的极限分析上限解

根据相关流动准则，边坡的滑动面形状应为对数螺旋线[8]，所以本文采用的台阶式边坡破坏机构如图1所示。设为0，其与水平线夹角为0，则滑面可由以下公式表示：

破坏模式中，块体以点为旋转中心沿着对数螺旋滑动面发生滑动破坏。边坡的总高度为；一、二级台阶的坡角和高度分别为：1和1，2和(1−1)；台阶宽度为2，由几何关系可得：

只考虑重力作用，在此破坏模式中，外力功率由块体的重力功率表示，由叠加法可以得：

其中，是土体的重度；是旋转体的角速度；1，2，3，4和5分别为：

破坏模式中，内能耗散功率即为滑动面上的内能耗散功率，计算可得：

临界高度c可以通过将外力功率等同于内能耗散功率计算得到，即令式(4)等于式(10)，则可 得到：

其中，(0,θ,)表示如下：

对于图1所示的破坏机构，几何约束条件应满足式(13)，根据约束条件用MATLAB编制优化程序，使得式(11)中c达到最小值，此时相应的0和θ确定的滑面即为临界滑面。

1.2 求解安全系数

针对已知高度的边坡，可以引入安全系数来评估边坡的稳定性。安全系数一般基于强度折减法得到[8]，折减后的岩土体抗剪强度参数为：

将式(14)中折减后的强度参数代入到式(11)的右式中，并令临界高度H等于边坡已知高度，则得到安全系数s的表达式：

因式(15)中等式右边同样含有s，故式(15)是隐式方程。为了计算安全系数的最小值，可以根据约束条件式(13)进行迭代计算，即可得到s的上 限解。

2 随机响应面法

在进行随机响应面法分析时，首先根据等概率原则，建立输入随机变量与标准正态分布随机变量之间的函数关系，即：

式中：−1(·)表示的累计概率分布函数的反函数；(·)表示标准正态分布的累计概率分布函数。若输入随机变量属于正态分布，那么它和标准正态分布随机变量之间有以下的映射关系：

式中：μ和σ分别为的均值和标准差。将输入随机变量转换为对应的标准正态分布随机变量后，则可以把输出响应也表示为标准正态分布随机变量的函数。基于Hermite随机多项式展开，输出响应通常表示如下：

为了求解上述待定系数，首先需要确定试验设计(Design of Experiments)。当抽样数量较低时，传统抽样方法容易出现概率较低的样本，故本文采用一种效率较高的拉丁超立方抽样方法。通过该方法可以得到标准正态随机变量向量对应的随机向量，随机向量包含所有的随机变量取值：

3 反演分析方法

3.1 参数确定性反演方法

在确定性参数反演分析中，通常假设滑坡发生的瞬间，边坡处于极限平衡状态，边坡安全系数为1。所以，所求的和的对应关系应为s=1时的关系。然后，对和关于安全系数的敏感度进行分析。当参数和离散性均较为明显的情况，对于敏感度较低的参数，可以通过试验来确定其数值，然后，通过参数反演，获得敏感度较高的参数值。值得注意的是，岩石的内摩擦角通常离散性较小，可采用优定斜率法优先确定。

图2 φ不同时Fs−c关系曲线图

为了说明这一方法，图2给出了一个边坡算例的F和的关系曲线图。该边坡重度为=20 kN/m3，一、二级台阶的坡角分别为1=30°，2=30°，边坡总高度为15 m，1和2分别为0.4和0.2。在图2中，若作直线s=1则可以得到其与各个曲线的交点，这些交点代表着边坡处于极限平衡状态时相应的和的组合，如表1所示。因此根据此方法则可以得到图3所示的不同坡脚组合下边坡处于极限平衡状态时和的关系曲线图。借助于图3，当通过试验确定敏感度较低的参数的试验值后，则可以反演确定另一个参数的参考值。

(a) β2=30°时的c−φ关系曲线图；(b) β1=30°时的c−φ关系曲线图

表1 Fs=1时c和φ的组合

3.2 参数不确定性反演方法

在上述确定性反演分析方法中，可以发现由式(15)确定的s的计算公式是一个复杂的非线性隐函数，因此给确定性反演分析带来计算效率上的困难。本文采用随机响应面法，对给定的边坡模型，模拟其s和输入变量和的近似关系，然后令s=1即可得到和的关系。针对上述边坡算例，随机响应面模拟过程具体如下：

1) 将和视为输入随机变量，并根据现场试验结果确定其均值、标准差、变异系数和分布类型等统计特征，本例中假设统计特征如表2所示，并确定和与相应的标准正态随机变量的映射关系，如式(17)所示；

2) 采用拉丁超立方抽样方法，先抽取标准正态随机变量的样本集，再采用等概率变换方法将其转换为对应的输入随机变量的样本集，得到的输入随机变量的样本如表3所示；

表2 强度参数的统计特征

上述确定性反演分析中，假设边坡由试验得到的的均值为15°，变异系数为0.1，分布类型为正态分布。对进行随机超立方抽样组成样本，本文中抽样次数取为300次，将样本代入式(22)中则可得到对应的黏聚力的反演值样本。基于得到的的样本，绘制频率分布直方图，并拟合得到其概率密度函数曲线，如图4所示。不确定反演分析中，所得的样本均值和标准差分别为18.95 kPa和1.81 kPa；确定性反演分析中，为15°时，的反演结果为18.8 kPa。可见不确定性反演结果与确定性反演结果吻合。为了体现参数反演结果的不确定性和提高结果的可信度，本文采用置信区间来估计s=1时的均值。若置信水平取为95%，则可以得到置信区间为(18.75 kPa，19.15 kPa)。出于安全储备的考虑，可将置信区间上限19.15 kPa作为的参考值。所以与确定性反演分析得到的结果18.8 kPa相比，不确定性反演结果更偏于安全。

表3 算例的抽样样本

图4 c的频率分布及概率密度曲线图

4 工程算例

狼猫山水库位于山东省济南市，于1991−08−29发生大滑坡[12]。经钻探勘测发现，滑坡体是一完整的弧形滑体，深度约7 m。其中，具有代表性的0+140弧形滑坡断面见图5。如图5所示，一、二级台阶的坡角分别为1≈29.1°，2≈21.8°，滑坡体总高度为20.4 m，1和2分别为0.618和0.368。滑坡后钻探取样，经土体现场和室内试验，测得土体的物理力学性质如表4所示[13]。由于缺少黏聚力和内摩擦角的标准差和变异系数统计数据，本文采用蒋建平等根据试验得出的粉质黏土关于黏聚力和内摩擦角的变异系数[14]，分别为0.31和0.32，从而得到标准差分别为3.1 kPa和4°。

单位：m

首先基于极限分析方法导出的安全系数求解公式，然后采用随机响应面法，模拟s和输入变量和的近似关系，并令s=1得到和的反演关系，最后考虑强度参数的不确定性，对该边坡进行强度参数反演分析。根据表5所示的抽样样本，随机响应面法模拟结果如下：

通过敏感性分析，可知2个强度参数中的敏感度较低，所以反演分析中可根据的试验值确定的参考值。狼猫山水库土坝强度参数由试验得到的统计特征如表4所示。根据的统计特征抽取样本数量为300的样本，然后由式(23)得到的样本，其频率直方图如图6所示。所得的均值和标准差分别为11.6°和3.4°，置信水平为95%的置信区间为(11.22°，11.98°)，取区间上限11.98°为的参考值，与尹起亮等得出的反演值11.8°吻合[13]，证明了本文方法的有效性。为了进一步说明本文方法的有效性，本文利用Geoslope软件来分析反演强度参数11.98°和=10 kPa对狼猫山水库土坝的影响，得到安全系数为s=1.006，并得到相应的滑面，如图7(a)所示。由图6(b)可以看出，理论滑面与实际滑面大致吻合，验证了本文反演分析方法的正确性和有效性。

表4 土体物理力学参数[13]

表5 抽样样本

图6 φ的频率分布及概率密度曲线图

单位：m

5 结论

1) 建立台阶式边坡旋转破坏模型，基于极限分析方法导出安全系数s求解公式。

2) 采用随机响应面法，模拟s和输入变量黏聚力和内摩擦角的近似关系，并令s=1得到和的反演关系。

3) 考虑强度参数的不确定性，对关于安全系数敏感度较低的强度参数可以通过试验确定其统计特征，再根据和的反演关系得到另一个参数的统计特征，并引入置信区间，取置信区间上限为强度参数反演参考值。

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(编辑 涂鹏)

Back analysis of strength parameters for the slip surface of stepped slope considering parametric uncertainties

GU Danping1, 2, 3, LING Tonghua1, 3, HUANG Fu1, 3

(1. School of Civil Engineering, Changsha University of Science and Technology, Changsha 410114, China;2. College of Construction Engineering and Arts, Hunan Institute of Technology, Hengyang 421002, China;3. Industry Key Laboratory of Traffic Infrastructure Security Risk Management (CSUST), Changsha 410114, China)

Based on the limit analysis method and probability analysis theory, this paper proposes a method for back analysis of the strength parameters for the slip surface of the stepped slope considering the parameter uncertainty. Firstly, combined with the limit analysis upper bound theorem and the strength reduction method, the implicit solution formula of the stepped slope safety factor was derived. In order to effectively improve the computational efficiency, the random response surface method was used to obtain the explicit function of the safety factor, and the inversion relation of the intensity parametersandwas obtained under the condition that the safety factor is equal to 1. Further, on the basis of the known statistical rule of a certain parameter, the statistical characteristics of the undetermined parameter and the confidence interval were obtained through the inverse relationship of the parameters. Combined with engineering examples and compared with the results of existing literature, the effectiveness of the proposed method was verified.

parameter back analysis; parameter uncertainty; limit analysis upper bound method; stochastic response surface; stepped slope

10.19713/j.cnki.43−1423/u.2019.05.010

TU452

A

1672 − 7029(2019)05 − 1186 − 08

2018−07−20

国家自然科学基金资助项目(51678071，51878074)；长沙理工大学交通基础设施安全风险管理行业重点实验室开放基金资助项目(16BCX09)；长沙理工大学研究生科研创新项目(CX2017BX03)；湖南省教育厅科学研究项目(18C0923)；湖南省大学生研究性学习和创新性试验计划项目(H1619)

凌同华(1968−)，男，湖南双峰人，教授，博士，从事岩土工程方面的教学与研究；E−mail：lingtonghua@163.com