Bogdanov-Takens系统在分段低次多项式扰动下极限环个数的上确界

崔文喆，李宝毅，张永康

（天津师范大学数学科学学院，天津 300387）

1 引言与主要结果

Hamilton 系统在扰动下极限环个数的估计是常微分方程定性理论研究的热门课题之一，它不仅与弱Hilbert 第16 问题密切相关，而且还有很强的实用价值.Bogdanov-Takens 系统在常微分方程定性理论中具有极其重要的地位，相关学者对其扰动系统进行了大量研究[1-9]，如，文献[7]证明了在n 次多项式扰动下，当一阶Melnikov函数M（1h）0 时，极限环个数的上确界为n-1；文献[8]证明了在n 次多项式扰动下，当M（1h）≡0，而M（2h）0 时，极限环个数的最小上界为2n-2（n 为正偶数）或2n-3（n 为大于1 的奇数）；文献[9]证明了当Mk0，而Mi≡0（1≤i≤k - 1）时，M（kh）的零点个数的上界为k（n-1）.近年来，非光滑系统由于在控制理论、冲击摩擦力学等许多领域有重要应用，因而受到相关学者的关注[10-13].文献[10]利用Picard-Fuchs 方程和Chebyshev 准则证明了2 类非连续Hamilton 系统分别可以存在5 个和6 个极限环.文献[11]证明了一类具有双同宿闭轨的分段Hamilton 系统在扰动下可以存在14 个极限环.文献[12]证明了一类分段系统在n 次多项式扰动下最多存在n 个极限环.文献[13]证明了Bogdanov-Takens 系统在分段n 次多项式扰动下极限环个数的上界为12n+6.

本文将平面分为左右2 个区域，研究在分段一次和二次多项式扰动下的Bogdanov-Takens 系统

极限环个数的上确界，其中：0<ε≪1，n=1、2；

当ε=0 时，系统（1）ε=0的Hamilton 函数为

设Γh与y 轴正半轴交于点与y轴负半轴交于点与x 轴正半轴交于点Bh（sh，0）.记B2（j）（B2c（j））为系统（1）ε在（连续）分段j次多项式扰动下极限环个数的上确界.本研究得到如下结论.

定理1对于系统（1）ε，当M1（h）不恒为0 时，有如下结论成立：

（1）当n ＝1 时，2≤B2（1）≤3.

（2）当n=2 时，5≤B2（2）≤7.

定理2对……