类比推理法在高中数学中解题的应用

徐世麒

1 前言

类比推理亦称“类推”。推理的一种形式，根据两个对象在某些属性上相同或相似，通过比较而推断出它们在其他属性上也相同的推理过程。所谓类比，就是由两个对象的某些相同或相似的性质，推断它们在其他性质上也有可能相同或相似的一种推理形式。在以往所学中，我们学习了许多拥有相互对应关系的知识和方法，例如数与三角函数，直线系与曲线系，向量与数量，等比数列和等差数列等，都可以作为学习类比思想的理想切入点。在心理学上，类比指的是一种维持了被表征物的主要知觉特征的知识表征。而在我们的学习中，由于所学习的教材中并无关于类比推理法的具体介绍，便在此与各位分享类比理想的重要意义和优越性，以及对其的具体研究技巧和学习方法。

2 数与三角函数

三角函数作为高中学习中的一大重点内容，有着数不清的变式和技巧，而类比推理思想的一个条件便是要求两个对象拥有某种相似性质，显然，三角函数是学习类比思想的理想材料。

例如：已知x?+y?=1，求 的最大值。

在这里，如果尝试传统的代数法，利用x去表示y进行计算的话，等式会变得非常繁杂，在应用上类比思想后会变得简单许多，我们可以看到x?+y?=1的条件，将未知数类比与三角函数，有sinα+cosα=1，即令x=sinα，y= cosα，可以将所求式转化为 ，化简即cosα+sinα，由和角公式即可求出最大值为 。

不仅仅是运算方面的类比，三角函数的几何性质也可以用作类比所需的材料。通过将题目条件与其进行类比，可以在很多方面获得快速解题的思路和方案。在下题中，在三角函数的几何性质得到类比后，极大程度上减少了题目的繁复程度，为解题创造了更广阔的思考空间。

例如：已知 ， ，求 如果通过普通的三角函数进行直接计算的话，大量的方程会使解题变得异常复杂，和角公式和倍角公式的反复使用更是容易出现低级错误，从而对考场上的考生带来极大的心理压力，而通过类比三角函数几何意义构筑单位圆则可以快速的对题意进行翻译和分析。

作单位元和直线x+2y=1交于A，B两点，过O向AB作OM⊥AB，设A（cosα，sinα），B（cosβ，sinβ），则α-β=∠BOA， =∠MOB，因为tan∠MOB= =2，所以 .

类比思想便是如此，在日常学习中时常会看到类比的影子，但总是容易被忽略。根据上述的两道问题我们可以看到，类比思想下的解题并不复杂，而发现可以类比的联系则是类比思想最为精髓也是最为精妙的点。这便是我所与大家分享的——类比推理法在数学解题中的应用。

3 直线系与曲线系

直线与曲线是高中数学学习中十分重要的知识板块，相信很多同学和我一样，在面对椭圆等一系列问题的时候，会感到十分的头疼，麻烦的地方无非是抽象的几何图像不方便想象，以及繁杂的运算会导致的种种问题。直线与曲线拥有着众多的相似之处。在此我将会对直线系和曲线系进行一次简要的讲解，并通过类比的思想进行分析，从而提出更为有效的解题方法。

所谓直线，可以对所有直线产生这样的理解，所有的直线都是一次方程，当我们设直线l1：Ax+By+C=0，直线l2：Dx+Ey+F=0，有另一个一次方程λ（Ax+By+C）+μ（Dx+Ey+F）=0。通过带入λ和μ的具体数值，即可表示一条通过两条已知直线焦点的新的直线。此外，当确定所求直线非已知的两条直线时，设置一个参数即可（通常为μ）。

例如：已知直线l1：2x+y+3=0和直线l2：3x-y-2=0，求经过l1，l2的交点且与直线l3：x-y=0平行的直线L方程。

由上方说明，我们可以设出L：（2x+y+3）+μ（3x-y-2）=0，联系题目条件，得到（3μ+2）x+（1-μ）y+（3-2μ）=0，因为与y=x平行，所以有 =1，解出μ值代入L方程即可得到答案。

直线系的使用，在深入分析了直线的意义后进行分析，避免了过多的直线方程的联立求解，省去了繁琐的求交点再设方程的过程，而通过直接表示所需的答案来达到更快的求解。

由此我们可以提出这样的疑问：二次函数是否能与直线系类比，对于由二次函数表示的曲线方程，是否也可以动过类似的方法进行更加精准快速的运算呢？

答案是肯定的，但在此之前我们先从另一个角度对曲线系进行重新说明：方程形式为ax?+by?+cxy+dx+ey+f=0的曲线，被叫做二次曲线，二次曲线包括：圆，椭圆，双曲线，抛物线和被分解的二次曲线——两条直线。分解二次曲线即可得到以下方程， =0，这样的二次式的解集即可表示两条直线，这样一来，通过这两条直线即可表示出我们需要的二次曲线。综上所述，类比于直线系的理解，当我们设两条二次曲线的方程为S1=0，S2=0，其中S1，S2为二次式时，则有λS1+ΜS2=0来表示经过两个曲线交点的二次曲线（如图1表示）。与直线系相同，当所求二次曲线不是原曲线中的一条时，仅设一个参数μ即可。此外，若利用C=λ +μ ，我们可以进行更多简便的运算。

通过这样的方式我们可以快速证明蝴蝶定理：O为圆内弦GH的中点，过O作弦AB和CD。设AD和BC各相交GH于点E和F，则OE=OF。

证明如下：以O为原点建系如图示（如图2），设AB：y=kx，CD：y=Kx，设O（0，a），圆半径为R，所以圆方程为X2+（y-a）2=R?，由于AB，CD都为二次曲线且都交于该圆，所以由曲线系规律有AD BC：λ（y-kx）（y-Kx）+ μ[X2+（y-a）?-r?]=0，当y等于0的时候可得F，E的坐标中的x符合λ·KX2+μ（X2+a2-r2）=0，很巧妙地有X1+X2=0，从而可以得到OF=OE，如上得证。

如此对题目中的各个函数进行分析，将直线一次函数和曲线二次函数进行类比，就能将很多的隐藏信息发掘出来。对产生的一系列函数进行定性分析，我们可以获得很多惊喜。例如通过类比此类思路，我们可以按下述的方法分析，发现这样不易察觉的规律。

当一条二次曲线与一条直线相交的时候，设曲线C：

直线L：y=kx+g，通过直线方程可以将曲线方程中仅存在X2项：

，由曲线系的规律我们可以得到直线的两交点A，B可由此方程表示，又因为x项都已配为二次项，所以一定有α （y-kx）（y-k2x）=0，結合规律反向类比即可表示为过O点的两条直线方程，而k和k2也就是两条连线的斜率。

综合以上方法，可以推导出这样的结论：

接下来，我们来看一看这两条结论在解题中的应用。

例如：抛物线y?=2px，有过原点的两条直线l1，l2交抛物线于A，B两点，且OA⊥OB。求证：直线AB过定点。

以往的做法中，这样的问题我们需要将直线方程和抛物线方程进行联立，然后将会面临更加复杂的分析和计算，这也是高中数学圆锥曲线问题中最容易出现错误的地方。

像这样的规律还有很多，在此不一一列举，但类比的思想足以透过这样的思考过程而得到理解。在很多情况下，运用类比思想，我们对数学能有更加深入的理解，看待问题的方式也能有更加开阔的眼界，解起题来也就能有更多的思路方法，自然就更加得心应手。

4 结语

通过对日常学习生活中遇到的各类知识进行对比，从而产生联想，将含义相似的部分进行灵活的对比，可以获得更多的解题思路和规律，类比方法的使用也会在某些题目的解答中带来极大的简化。类比的过程并不枯燥，熟练使用更是能对数学产生更加浓厚的兴趣，类比推理法在高中数学中解题的应用远不仅此，望各位同学留心使用，必会有所收获。

（作者单位：成都市第二十中学校）