Schmidt标准正交化方法的推广

2019-06-18 01:06高德超
科技资讯 2019年8期

摘  要:传统的Schmidt标准正交化方法是计算向量组生成空间标准正交基的有效方法,但只适用于线性无关向量组生成空间标准正交基的计算。基于这种情形,该文给出了Schmidt标准正交化方法的一种改进形式,不需要寻找向量组的极大线性无关组,就能消除向量线性相关性对其生成空间标准正交基计算过程的影响,可用于求任意有限个向量生成空间的标准正交基计算,并做出了严格证明。

关键词:正交基  线性相关  生成空间

中图分类号:O151                                   文献标识码:A                        文章编号:1672-3791(2019)03(b)-0056-02

向量空间中标准正交基有其重要意义,在理论研究和工程计算中都有重要的应用。通常意义下的Schmidt标准正交化方法[1]如下:设a1,a2,...,an线性无关向量组,

上述的方法都是在a1,a2,...,an线性无关的条件下进行讨论的,但是,若没有线性无关这个条件,上述的这些方法都有一定限制,此时的一般思路是先求极大无关组,然后再对极大无关组进行标准正交化,这样计算量就有所增加,且不利于计算机的实现。该文给出了一般向量组的生成空间标准正交基的求法,并且给出了理论证明,继承了Schmidt标准正交化方法的逻辑关系清晰,易于计算机实现的优点。

3  结语

Schmidt标准正交化是线性代数中一个重要方法,并且实际的应用也十分广泛,传统的Schmidt标准正交化方法局限于线性空间生成向量组的线性无关性限制,為实际的应用带来了许多麻烦,主要体现在线性相关向量组在使用该方法时会出现分母为零的情形。该文基于这种考虑,给出了舍去正交过程中的零向量,取重新得到新正交向量组作为生成空间基的方法,有效消除了分母为零的影响,并给出了这种方法正确性的严格证明。

参考文献

[1] 北京大学数学系.高等代数[M].3版.北京:北京大学出版社,2003.

[2] 刘东.欧氏空间子空间的标准正交基求法改进[J].科技通报,1994(2):117-119.

[3] 严家森.正交化向量组的矩阵方法[J].西华师范大学学报:自然科学版,1996(4):41-44.

[4] 李宗胜.标准正交基的一种求法[J].数学通报,1991(3):29.

[5] 刘妍珺,马赞甫,余孝军.反对称线性变换与Gram-Schmidt正交化[J].数学的实践与认识,2018(9):285-289.

[6] 门永江,任化民.Schmidt正交化方法的改进[J].大学数学,1993(4):15-18.

[7] 苏燕玲,张瑞平.由施密特正交化法所得到的两个结论[J].陕西师范大学学报:自然科学版,1999(S1):1-4.

[8] 同济大学数学系.工程数学:线性代数[M].北京:高等教育出版社,2014.

①基金项目:广东理工学院质量工程项目(项目编号:JXTD2017001)。

作者简介:高德超(1988—),男,河南周口人,硕士,从事微分几何研究和高等数学教学研究。