斐波那契数的标准分解式中因子23的指数

严婉琳，钟球盛

（1.惠州城市职业学院 国际学院，广东 惠州 516000；2.广州番禺职业技术学院 机电工程学院，广东 广州 511483）

1 引言及预备知识

由数学家Leonardo Fibonacci提出的斐波那契数列，在化学、物理、数学、环境自然等多个领域有许多重要应用.斐波那契数列的第零项为0.第一项是1，此后，每项都为前两项之和.

定义1[1-2]斐波那契数列是指递推关系Fn=Fn-1+Fn-2(n≥2)所确定的数列{Fn}n≥0，这里的初始条件是F0=0,F1=1，并且Fn称为斐波那契数.

文献[3-10]分别研究了关于斐波那契数的标准分解式中因子2，3，5，7，11，13，17，19的指数.文献[11-12]则证明了斐波那契数的整除性.文献[13]不但提出了关于一般奇素因子p在Fd(p)标准分解式中指数的猜想，还探讨了对一般奇素因子p与d(p)=min{w：p/Fw}的整除关系.基于上述相关文献，本文研究得出斐波那契数Fn下标n的分解式中因数23的指数与24的指数将共同决定Fn标准分解式中因子23指数的结论.

引理1[6]4设m,n均是正整数，a整除b用“a|b”表示.若m|n，则有Fm|Fn成立.

引理2[6]5设m,n均是正整数，则Fm+n=FmFn-1+Fm+1Fn成立.

引理3设n是正整数，23|Fn⇔24|n.

逐一计算Fn(0≤n≤47)关于模23的最小非负剩余，设Fn≡m(mod23)，则可得表1.

表1 Fn关于模23的最小非负剩余

由此可得Fn关于模23的最小非负剩余的周期是48.Fn≡0(mod23)当且仅当n≡0(mod24).

引理4设m是一个正整数，则有F24m+1≡F24m-1(mod23)成立.

证明由引理3及斐波那契数的定义与性质可知，F24m≡F24m+1-F24m-1≡0(mod23)成立，故引理4成立.

引理5[9]214设m,p均是正整数，则有

引理6[9]215假设m是一个正整数，则有成立.

假设a,b均是整数，t是一个非负整数，记号at||b表示at|b且b不能被at+1整除.

2 相关证明

定理1设p,k均为正整数，则标准分解式中因子23的指数与标准分解式中因子23的指数相同.

证明……