斜率比值定值竞赛题的思考*

北京市第十二中学高中部(100071) 刘 刚

定值、定点问题是解析几何中的热点问题,在各类考试中频繁出现,它揭示了动点在运动过程中某些几何量所固有的几何或代数性质,渗透了运动变化思想,对于这样的题目,除了关注其解法以外,还应透过现象看本质,挖掘相关结论,这样才会将试题的价值最大化.下面是2018年全国高中数学联赛重庆预赛第9题的一些思考,供大家参考.

题目设椭圆C的左、右顶点为A,B(a,0),过右焦点F(1,0)作非水平直线l与椭圆C交于P,Q两点,记直线AP,BQ的斜率分别为k1,k2,试证:为定值,并求此定值(用a的函数表示).

试题考查了椭圆的标准方程、几何性质、直线和椭圆的位置关系以及定值问题,考查了设而不求、转化等数学思想方法,检验了运算求解、分析问题与解决问题的能力.试题解法多样,平中见奇,内涵丰富,为不同学生搭建了施展才能的舞台,是一道具有研究性学习价值的好题.

试题命制组给出的答案如下:

设直线l的方程为x=ty+1,代入椭圆C的方程,得设P(x1,y1),Q(x2,y2),则y1+y2=.两式相除,得,即.由题意知

从而

点评解法首先设出直线l的横截距式方程,从而避免了讨论,接下来与椭圆C的方程联立并借助韦达定理求解,解决过程中之所以将y1+y2与y1y2相除得到,是为了将中的坐标齐次化,最后通过系数对应成比例将问题解决,体现了设而不求、转化的数学思想.

1.试题的另解

思考1试题还有别的解法吗?

另证1由已知,得A(-a,0),因为直线AP,BQ的斜率分别为k1,k2,且B(a,0),所以直线AP,BQ的方程分别为y-k1(x+a)=0,y-k2(x-a)=0.设直线l的……