关于Gordon不等式的加强

山东省威海职业学院艺术设计系

姜卫东 (邮编：264210)

本文约定: △ABC三边长分别为a、b、c,面积为△，s、R、r分别表示△ABC的半周长,外接圆半径和内切圆半径.

在△ABC中，有不等式

①

这是著名的Weisenbock不等式[1].

①已有很多种形式的加强，其中最著名的是费-哈不等式

②

1966年，Gordon给出了如下不等式

③

注意到文[2]已给出③的如下加强

bc+ca+ab≥18Rr

④

本文主要讨论③和④的加强问题.

1 Bencze公开问题的解决

考虑到④的加强，最近，罗马尼亚的M. Bencze在[3]中提出如下的公开问题：

OQ5302在△ABC中，求最佳的λ，使下面不等式成立.

bc+ca+ab≥18Rr+λ[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2]

⑤

下面给出⑤的解答.

由abc=4Rrs,a+b+c=2s,

可知，⑤等价于

⑥

设a=b=1,c=x,则易知0

定理1 在在△ABC中，有

⑦

证明由三角形中熟知的恒等式

bc+ca+ab=s2+4Rr+r2,

∑a2=2(s2-4Rr-r2),

⑦等价于s2≥16Rr-5r2.

这就是Gerretsen不等式，从而⑦成立.

2 安振平的一个不等式的最优化加强

最近，安振平老师在其新浪博客中提出了③的另一种加强[4]：

问题4585在△ABC中，有

⑧

由⑧的形式，一个很自然的问题是：求使下式成立的最大的k:

⑨

简单的计算可知，上式等价于

⑩

则⑩变形为

○11

定理2在△ABC中，有

○12

证明由三角形中熟知的恒等式

bc+ca+ab=s2+4Rr+r2,△=rs.

可知○12 等价于

(s2+4Rr+r2)2≥25Rrs2-2r2s2,即

H(s2)=s4-(17Rr-4r2)s2

○13

由已知的不等式(见[1]的5.9和5.10)

s2≥f(R,r)≥16Rr-5r2.其中

2(16Rr-5r2)-(17Rr-4r2)=15Rr-6r2>0.

从而有

最后一步由欧拉不等式R≥2r可知，从而定理2成立.

特别的，在⑨中令k=2,即得⑧.