两个常用不等式的下界估计
2019-06-21 08:10:48安徽省舒城县杭埠镇中心学校
中学数学教学
2019年3期
安徽省舒城县杭埠镇中心学校
丁遵标 (邮编：231323)
匡继昌教授在编著的《常用不等式》一书中，收录了下面的两个几何不等式：
其中a、b、c为△ABC的三边长，p为半周长，R为外径，r为内径，∑表示循环和.
经过探讨，现已得到它们的下界估计.
证明(1)因为∑bc=p2+4Rr+r2，
∑a2=2(p2-4Rr-r2)，
∏abc=4Rrp(∏表示循环积)，
(2)因为∑a2c≥3∏a，∏(p-a)=r2p
由Gerretsen不等式知
p2≤4R2+4Rr+3r2，
①
因为∑a=∑c=2p,
②
由①、②得：
结合文中定理及Guba不等式，有
这样，我们得到一个有趣的三角不等式：
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