一个含三角形内角平分线的不等式的加强

安徽师范大学数学与统计学院

陈 丽 倪 玲 郭要红 (邮编：241003)

1 引言

2016年第10期《美国数学月刊》刊登了马其顿人Martin Lukarevski提供的问题11945如下.

问题11945[1]设a、b、c分别是△ABC的顶点A、B、C所对边长，wa、wb、wc分别是角A、B、C的内角平分线长. 证明

①

2018年第3期《美国数学月刊》刊登了Santa Monia. Dmitry Flesichman提供的问题11945的解答.[2]本文给出问题11945的一个加强.

定理设a、b、c分别是△ABC的顶点A、B、C所对边长，wa、wb、wc分别是角A、B、C的内角平分线长. 证明

②

2 两个引理

为证明不等式②，现给出两个引理.

引理1 设a、b、c分别是△ABC的顶点A、B、C所对边长，wa、wb、wc分别是角A、B、C的内角平分线长. 则

事实上，利用三角形面积公式，有

于是

类似可以得到另两个等式.

引理2[3]设R、r分别是△ABC的外接圆半径、内切圆半径，则

3 结论的证明

证明由算术——几何平均不等式、引理1、引理2，有

不等式(2)得证.