2018年全国I卷理科解析几何题的探究与推广

广东省佛山市南海区黄岐高级中学

熊向前 (邮编：528248)

广东省广州市广东华侨中学

杨 墁 (邮编：510000)

在看完2018年全国I卷理科数学第19题后,现从不同角度对其解法进行了探究,并将其结论拓展推广到其他的圆锥曲线中,在追溯其命题背景之后,又发现了其结论更为一般的形式.现整理成文,不当之处,敬请批评指正.

1 试题呈现

(1)当l与x轴垂直时,求直线AM的方程;

(2)设O为坐标原点,证明:∠OMA=∠OMB.(2018年全国I卷理科数学第19题)

评注本题考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线的方程、直线与椭圆的位置关系、斜率、韦达定理、等角的证明等基础知识,考查学生的推理论证能力、运算求解能力以及综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力,考查数形结合的思想、分类讨论的思想、化归与转化的思想.立意深刻、内涵丰富,具有一定的典型性、代表性,极具探究价值,是一道值得研究的好题.

2 解法探究

破解此题的关键:一是画图引路,先画出大致图形,把题中的数学符号语言翻译成图形语言;二是合理转化,以数助形,把几何关系等价转换其他的数量关系.

证法1当设直线AB与x轴重合时,显然成立;

当设直线AB与x轴不重合时,由题意F(1,0),设直线AB的方程为x=my+1,A(x1,y1),B(x2,y2),将x=my+1代入椭圆C的方程，得(m2+2)y2+2my-1=0,则

图1

下同证法1.

证法3设直线l的参数方程为

A(1+t1cosθ,t1sinθ),B(1+t2cosθ,t2sinθ),

将(*)代入椭圆C的方程得

(sin2θ+1)t2+2tcosθ-1=0,则

证法4 由证法1知

而2my1y2-(y1+y2)=0,所以kAM+kBM=0,从而得直线AM与直线BM的倾斜角互补,所以∠AMO=∠BMO.

图2

评注在以上方法中,前三种方法均借助于三角形内角平分线定理,把要证明的……