时空分数阶扩散方程的最小二乘混合型有限元方法

刘思宇 陈焕贞

( 山东师范大学数学与统计学院,250358,济南 )

1 引 言

考虑如下时空分数阶变系数扩散方程

(1)

2 预备知识

本节简要介绍两类分数阶导数算子和分数阶Soblove空间的定义及其相关性质.

对自然数n和n-1<α

(2)

这里

(3)

(4)

并且满足伴随性质

(5)

对α(n-1<α

(6)

(7)

半范为

(8)

3 最小二乘混合型变分形式

则在t=tn时, 问题(1)改写为

(9)

其中,

pn=p(x,tn),fn=f(x,tn),

γα,τ=(1-α)Γ(1-α)τα,

经适当整理后, (9)可表达为下式:

(10)

为方便书写, 我们在下文中将pn仍记作p,并引入中间变量u=-Dp，则问题(10)改写为

(11)

依据(11), 我们定义下列最小二乘泛函

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

在此基础上, 我们将证明极小问题(13)与变分形式(14)等价.

定理1极小问题(13)与变分问题(14)等价.

证根据(12), 我们可构造如下的二次函数Φ(s),s≥0,

Φ(s)=L([p+sq,u+sv]).

(17)

将其展开后, 表达式为

显然, [p,u]使泛函L取极小等价于二次函数Φ(s)在s=0取极小, 由

Φ'(0)=B([p,u],[q,v])-F([q,v])=0,

可推出

B([p,u],[q,v])-F([q,v])=0,

且

Φ''(0)=L([q,v],[q,v])=0.

此即说明, 二次函数Φ(s)在s=0取极小, 从而, [p,u]使泛函L取极小等价于[p,u]满足变分形式(14).

B([q,v];[q,v])

B([p,u];[q,v])

连续性得证.

4 全离散的最小二乘混合有限元格式

本节中, 我们将基于上述最小二乘变分形式构造最小二乘混合有限元离散格式, 并给出收敛性结果, 并重点讨论线性有限元算法.

此处Pk(Ii)表示次数不高于k的多项式子空间.

相应于变分问题(15)全离散的混合有限元格式定义如下: 求(ph,uh)∈Vh×Hh使

B([ph,uh];[qh,vh])=F([qh,vh]),∀[qh,vh]∈Vh×Hh.

(18)

定理3最小二乘混合有限元离散格式(18)在Vh×Hh中存在唯一解, 且具有下列收敛性

(19)

在实际计算中, 分别令qh=0和vh=0, 得到与(18)的等价形式,

(20a)

(20b)

这就意味着格式(18)可以被分裂成两个子系统(20a)和(20b)分别求解.

为方便应用, 下面将重点讨论线性有限元算法, 即有限元空间指数分别为l=1,k=1. 此时, 可设有限元空……