利用双线性变换和R-H准则判定LSI系统的稳定性*

陈绍荣 ，何 健 ，陈柏良 ，薛在阳

（1.陆军工程大学通信士官学校，重庆 400035；2.军委装备发展部军事代表局驻成都地区军事代表室，四川 成都 610041；3.深圳市惟新科技股份有限公司，广东 深圳 518000；4.奥特斯科技（重庆）有限公司，重庆 401133）

0 引 言

在国内外《信号与系统》著作[1-2]中，均介绍了Jury准则和利用Jury准则来判定LSI离散时间系统稳定性的步骤和方法。虽然高阶LSI离散时间因果系统的稳定性可利用Jury准则做出判定，但遗憾的是，若高阶LSI离散时间因果系统是一个不稳定系统，则Jury准则不能判定出高阶LSI离散时间因果系统转移函数有多少个极点位于z平面的单位圆外。本文在著作[3]的基础上，给出了基于双线性变换和R-H准则来判定LSI离散时间因果系统稳定性的方法，间接解决了Jury准则遗留的问题。

1 Jury准则

设：

则其稳定性检验表如下：

将每两行相互区分开，第1行列出D（z）的系数，第2行将第1行的系数顺序颠倒排列，第3行按下述方法求得，即：

第4行将第3行的系数顺序颠倒排列，再按上述办法求出稳定性检验表中的第5行，即：

第6行将第5行的系数顺序颠倒排列。

这样一直排下去，每两行比前两行少一项，一直排到2n-3行为止。

可以证明，D（z）=0的根均位于z平面单位圆内的充要条件是：

式（5）揭示的D（z）=0的根均位于z平面单位圆内的充要条件，称为Jury准则。

Jury准则即式（5），表明由多项式D（z）的系数构成的稳定性检验表除满足 D（1）＞0 和 （-1）nD（-1）＞0外，对表中每一个奇数行而言，第一个系数必须大于最后一个系数。

解：考虑到：

则其稳定性检验表如下：

虽然 D（1）=16＞0、（-1）5D（-1）=2＞0 但是从稳定性检验表可见，第3行的系数bn-1=3小于最后一个系数|b0|=6，因此可以判断该系统为不稳定系统。

高阶LSI离散时间因果系统的稳定性可利用Jury准则做出判定，遗憾的是，若高阶LSI离散时间因果系统是不稳定系统，则Jury准则不能判定出D（z）=0有多少个根位于z平面的单位圆外。本可以利用双线性变换和R-H准则来解决这一问题。

2 双线性变换函数的导出

由于z平面与s平面之间存在映射函数z=esT，使得s平面到z平面不是“一对一”的映射，而是“多对一”的映射，即s平面的ω每增加2π/T时，z的幅角Ω就增加2π，亦即s平面上的σ相同，而ω相差2πm/T（m为整数）的各点，在z平面上都映射为同一点。因此，首先需要找一个“一对一”的映射函数，将s平面一对一地映射成w平面上以实轴为对称轴、宽度为2π/T的带状域。利用映射函数z=ewT，将w平面上的带状域一对一地映射成全z平面，如图1所示，保证了s平面到z平面是“一对一”的映射。由于s平面到z平面的“一对一”映射是经历两次“一对一”映射完成的，因此在这一过程中找出的s平面与z平面的映射函数，通常称为双线性变换函数。

图1 双线变换函数的映射关系

基于图1给出的单值映射图形，下面寻找双线性变换函数。

设：

考虑到欧拉公式，则式（8）可写成：

式（12）或式（13）揭示了s平面与z平面的单值映射关系，通常将这种映射关系称为双线性变换。

考虑到式（13），则有：

由式（15）可知，利用式（13）揭示的双线性变换函数，正向期望相同，可将s平面的左半平面（σ＜0）、虚轴 （σ=0）及右半平面 （σ＞0）分别映射成 z平面上的单位圆内部 （0 ≤ |z|＜1）、单位圆周 （|z|=1）及单位圆外部 （|z|＞1）。

3 利用双线性变换和R-H准则判定LSI离散时间因果系统的稳定性

解：由于LSI离散时间因果系统转移函数H（z）的极点为v1=0.5，v2=3，v3=4。显然，极点v2=3和v3=4位于z平面的单位圆外，故系统为不稳定系统。

下面来考察s平面与z平面的零点和极点的单值映射情况。

为了简单，在式（12）和式（13）中可取变换常数C=1。现在，利用双线性变换式（13），将LSI离散时间因果系统的转移函数H（z）映射到s平面，即：

类似地，对高阶LSI离散时间因果系统，利用双线性变换可以得到n次多项式Deq（s），那么通过R-H准则可以间接判断高阶LSI离散时间因果系统的稳定性。

解：为了简单，取式（13）中的变换常数C=1。利用双线性变换式（13），将LSI离散时间因果系统的转移函数H（z）映射到s平面，即：

式中：

Deq（s）=0的根全部位于s平面的左半平面的必要条件是多项式Deq（s）中不缺项，且各项的系数同符号。因此，由式（21）可知，Deq（s）=0有根位于s平面的右半平面，即Heq（s）有极点位于s平面的右半平面，亦即H（z）有极点位于z平面的单位圆外，该LSI离散时间因果系统是不稳定系统。

为了确定出Deq（s）=0的根位于s平面的右半平面的个数，下面列写Deq（s）的R-H阵列：

分析表明，R-H阵列中第1列元素，从正到负，再从负到正，符号共变化了2次，因此Deq（s）=0有2个根位于s平面的右半平面，那么D（z）=0一定有2个根位于z平面的单位圆外，即5阶LSI离散时间因果系统有2个极点位于z平面的单位圆外。

4 结 语

本文介绍了Jury准则，给出了基于双线性变换和R-H准则来判定LSI离散时间因果系统稳定性的方法，间接解决了Jury准则遗留的问题。