基于改进型蒙特卡洛模拟的腐蚀管线可靠性分析

马小芳 编译

(中国石油集团石油管工程技术研究院 陕西 西安 710077)

0 引 言

海上和海底管道的重大问题是老化管道腐蚀。为了确定这些管道的剩余使用时间，需要建立确定性容量模型以及关键参数的相关概率模型。获得这些模型后，可以进行适当的可靠性分析和风险评估。

有大量的文献可以反映出这个问题的重要性。一些概率可靠性分析的例子可以在很多研究者的论文中找到。早期的相关设计准则出现在ANSI/ASME B31G，而近期的设计准则由DNV提出。

在已经执行的各种可靠性分析中采用的应用概率模型之间存在显着差异。这特别适用于内部压力和腐蚀缺陷的统计参数。此外，在大多数情况下，都是分析单个腐蚀缺陷。为了解决多个缺陷，通常只需要建立简单的评论系统模型。

在少数情况下，系统分析是通过Ditlevsen界限来估计串联系统的失效概率。有的研究主要基于分析方法对组件故障事件与系统可靠性之间的相关性进行了更详细的研究。在本文中，系统建模侧重于分析方法和计算结果。

1 系统可靠性分析方法

1.1 基本方程

用于本研究的是系统可靠性的改进型基于蒙特卡罗(MC)的方法。该方法的目的是在保持原始MC模拟的优点的同时降低计算成本，在处理复杂系统时尤其适用。它的关键思想是利用尾概率的规律性。基于从小型蒙特卡罗样本获得的中等水平可靠性的结果，这种规律性能够预测远尾失效概率。

这种方法的动机是使用传统的结构可靠性方法，但具有多种复杂故障模式或极限状态的系统时通常无法进行分析。另一方面，即使MC没有这个问题，小概率故障的计算上也很繁杂。这产生了在不同且不太可靠的范围内采样并执行统计尾部外推的想法。其基本原理方法为：以n个基本变量表示的安全裕度M=G(X1，Xn)，使用缩放参数λ(0≤λ≤1)扩展到参数化的安全边界类别：

M(λ)=M(1-λ)E(M)

(1)

在基本随机变量分布相关的某些条件下，假设失败概率为：

(2)

其中函数q(λ)与指数函数exp{-a(λ-b)}c相比变化缓慢。实际上，在λ>λ0的条件下，选择一个合适的λ0,q(λ)就可以被常数q代替。显然，如果已经确定了参数q,a,b,c,则可以从λ0<λ<1的pf(λ)的值获得相关的失效概率pf=pf(1)。很明显，比目标值本身更容易估计在λ<1的(较大的)失效概率pf(λ)，因为它们需要较少的模拟才能达到相同的精度水平。然后，将pf(λ)的参数形式qexp{-a(λ-b)}c拟合到估计值，然后通过外推法提供目标值的估计。

1.2 系统可靠性分析

使用蒙特卡罗方法进行系统可靠性分析具有几个有吸引力的特征，最重要的是：无论系统的复杂性如何，故障标准都相对容易检查。为了减少可能涉及的计算工作量，因此将上述方法扩展使用于该系统。

设Mj=Gj(X1，...，Xn)，j=1，......，m，是一组给定的以n个基本变量表示的安全边界。然后是参数化的安全边界类Mj(λ)=Mj-(1-λ)E(Mj)，......，m。对于给定的λ值，以失效概率表示的串联系统可靠性可以写成：

(3)

而对于并行系统

(4)

通常任何系统都可以编写为并行子系统的串连系统。失败概率可以表示为：

(5)

式中每个Cj是{1，...，m}的子集，其中j= 1，...，l。Cj表示定义并行子系统的索引集。针对系统可靠性问题，假设pf(λ)也可以表示为方程式(2)。

1.3 应用

本节中描述的方法是基于方程式(2)所表示的假设。对于实际应用，它以式(6)形式实现：

pf(λ)≈q·exp{-a(λ-b)c}

(6)

对于合适的λ0，在λ0≤λ≤1时，用四个参数q，a，b，c表示。 因此有必要确定λ的合适范围，以便方程式(6)的右侧，在λ∈[λ_0,1]时，可以表示为pf(λ)的近似值。

对于基本随机变量X=(X1，...，Xn)的矢量大小为N的样本，设Nf(λ)表示系统故障范围中的样本数，相应的估计失败概率为：

(7)

该估计量的变异系数Cv为：

(8)

(9)

现在假设我们已经获得了对失效概率的经验蒙特卡罗估计，那么问题就变成了对可用信息的最佳利用

在相关四个讨论中，参数q，a，b，c的最优值的问题，是通过最小化以下均方误差函数来优化对数水平的拟合来解决的。

(10)

其中0 <λ1<...<λM<1表示λ值的集合，其中根据经验估计故障概率。wj表示权重因素，更加强调更可靠的估计。

然后通过以下公式(11)和(12)给出a和q的最佳值，

(11)

(12)

其中

(13)

2 应用举例

2.1 概述

用于腐蚀管道系统的可靠性方程要求考虑内部压力和腐蚀损坏的时间变化。如果在整个时间段内最大的缺陷与同一时期内的最高压力相结合，保守估计的结果会是对于单个管道横截面的失效概率。

一个方便且非常准确的简化是应用内部压力的年度最大值的分布(而不是整个期间的极端压力)。然后将该分布与同一年的腐蚀损坏分布相结合(而不是在所考虑的时期内分布最大的缺陷)。该建模还可以与系统可靠性公式相结合，以反映在许多不同可能缺陷中的一个特定情况下可能发生故障的概率。

在该方法中，对于每个横截面(而不是在给定时间点的单个最大缺陷的概率分布)，应用总腐蚀缺陷群的概率分布。因此，通过系列系统模型适当地表示在许多“竞争”横截面上失效的可能性。该公式被用作本文数值研究的基础。

在文献中发现的许多可靠性研究中，应用的是瞬时(正常)操作压力的概率分布而不是在指定时间间隔期间的极压分布，其原因尚不明确，并且在尝试为计算的失效概率建立参考时间段时也会产生困难(除非指定压力的某些特征短期持续时间，即分钟或小时的数量级)。

在本文中，操作压力的概率分布被认为对应于年极限压力。因此，相应的失败概率也将指一年期。然后，年度最大压力的表示应基于最大瞬时压力(MAIP)，其通常高于最大允许操作压力(MAOP)。前一压力的平均值通常通过偏差因子乘以后者给出，通常MAIP表示为MAOP的1.05或1.07倍。即需要考虑内部压力随时间变化的影响因素。

目前应用于存在腐蚀缺陷的管道横截面的失效函数表示如下式：

(14)

其中，sy是钢材的屈服应力，mf是将屈服应力转换成流动应力的倍增因子。该方程基于矩形或近似矩形的缺陷形状，缺陷深度为d，缺陷长度为L，管壁厚度由t表示，管道直径由D表示。数量pa是内部超压，即在相关的横截面上的压力。

F是Folias因子(也称为凸出因子)。应用Folias因子的方程如下式：

(15)

对于管线钢，上述转换因子的值，即mf，通常取在1.10和1.15之间。这表明mf的值也存在不确定性。为了将这种不确定性考虑在内，mf为随机变量

显然，引入额外的模型不确定因子以反映观察到的与计算的失效压力水平之间的差异是相关的。然而由于计算结果的范围，本研究未涉及该主题。

精细的可靠性分析应区分具有不同后果的不同类型的故障模式。Zhou更详细地讨论了这一点。在小泄漏、大泄漏和爆裂之间进行区分。显然，后者将代表最糟糕后果的失败模式。在本文中，应用了仅有单一类型故障模式(由上面给出的故障函数定义)的更简单的方法。因此，未来需要研究更细化的细分的影响。

2.2 例1：单一腐蚀缺陷

为了说明上述概念，分析了具有已知腐蚀缺陷概率分布的管道。表1中列出了本研究中考虑的随机变量以及变量的典型统计值和分布函数。

表1 随机变量和统计属性

注：LN：对数正态分布;N：正态(高斯)分布

在本文中，主要是说明如何将本模拟程序应用于管道腐蚀可靠性的分析。因此，应用的概率分布通常应适合于特定应用的可用信息。

对于一些变量(即管道直径、缺陷深度、缺陷长度和流体压力)应用高斯分布原则上意味着对于这些变量可能出现负值。然而，应用蒙特卡罗模拟的优势是：如果非物理值出现在模拟过程的任何阶段，可以将其删除。这实际上意味着应用截断为零的分布。由于每个相关量具有负值的累积概率几乎为零，因此这对计算结果没有任何影响。因此适用于所有级别的系统故障概率。

在本文中，研究了应用不同类型的分布对内部压力的影响。基本情况分析对应于具有高斯分布的压力，如表1中的字母N所示。此外，对应于Gumbel分布的压力分布的结果在下面的灵敏度研究中也进行了计算。

首先考虑具有高斯压力分布和单一腐蚀缺陷的情况。对于参数λ的每个值，对失效函数的负值N-进行计数。不同λ值的模拟结果以及相关概率水平的外推结果如图1所示。可以看出，在内压平均值为7 MPa的情况下，对应于λ=1的失效概率位于0.5×10-5至3.0×10-5的区间内，最佳估计值为1.3×10-5。值得注意的是，这个概率略低于基于在平均点附近执行失效函数的泰勒级数展开所获得的值。

图1 从采样值到相关故障的故障概率外推概率水平

2.3 例1的参数研究(仅一个缺陷)

2.3.1 Gumbel与正常压力分布的结果单一“平均”缺陷

改变压力平均值和缺陷深度的影响。高斯压力分布作为压力平均值(从5 MPa及以上)和缺陷深度的平均值的函数的结果如图2所示。可以看出低压的组合内部压力和小缺陷深度提供非常高的可靠性水平(即3级及以上的可靠性指标)。高内压和大缺陷使可靠性水平非常低(几乎可以确定故障)。

图2 缺陷深度-可靠性指数图

Gumbel型压力分布的相应结果如图3所示。对于最小缺陷深度，观察到比高斯模型略低的可靠性水平。对于最大的缺陷深度，结果之间几乎没有任何差异。对于目前的情况，两个压力分布的平均值保持相同。然而，应该注意的是，由于Gumbel模型通常指的是如上所述的年度极端压力，实际上平均值应显着高于高斯分布(如果后者旨在表示正常操作压力)。这将导致相关可靠性水平的更大差异。

图3 缺陷深度-可靠性指数图

通过改变缺陷长度和缺陷深度的平均值(平均压力恒定且等于7 MPa)的影响结果如图4所示。可以看出，图的左侧部分可靠性水平下降明显，但在图的右侧部分可靠性水平非常缓慢地减小。这意味着对于相对短的缺陷，对长度具有高灵敏度，而对于相对长的缺陷，对于长度的灵敏度较低。

图4 缺陷长度-可靠性指数图

关于缺陷深度，似乎可靠性指数与增加的深度值成比例地线性减小(保持缺陷长度的平均值恒定)。这可以从图4中的三条不同曲线看出，它们分别代表0.5t，0.6t和0.7t的缺陷深度。

2.3.2 具有极深和长度特征的单一缺陷

首先，解决了在100个独立缺陷中具有最大长度的缺陷的效果(同时假设缺陷深度对于所有缺陷是相同的)。通过将单个缺陷的长度的累积分布提高到100次方来获得最大长度的累积概率分布。

对应于该分布函数的失效概率见表2。从表2可以看出，对于最高的失效概率水平(对应于7 MPa和8 MPa的平均压力水平)，失效概率增加大约50%。另一方面，对于最低失效概率水平(对应于 6 MPa的平均压力水平)，失效概率增加约3倍，这是非常显著的。

表2 100个样本中最大长度的极端缺陷的失效概率(平均深度为5 mm)

然后应用具有100个独立缺陷的样本中的极端深度的单个缺陷，其中所有缺陷的长度相同(即基本情况值)。此外，现在通过将单个缺陷长度的累积分布提高到100次方来获得最大缺陷深度的累积分布函数。

具有极大深度的失效概率结果见表3。可以看出，该失效概率比最大长度的极端缺陷的失效概率明显增加。对于最高失败概率水平，增加超过一个数量级。对于最低的失效概率，增加了近两个数量级。

表3 100个样本中最大深度的极端缺陷的失效概率(平均长度为305 mm)

也许更相关的情况是缺陷深度和缺陷长度完全相关，使得两者的极值同时发生(即对于相同的缺陷)。两个累积分布函数的取幂的结果见表4。可以看出，失效结果的相对增加量与表3中的结果类似。

表4 100个样本中最大长度和深度的极端缺陷的失效概率

作为缺陷表征结果的主要观察结果，似乎缺陷深度的增加对缺陷概率的影响比缺陷长度的影响更加明显(至少对于目前应用的统计模型而言)。

2.4 例2：多重腐蚀缺陷和相关性的影响

2.4.1 独立缺陷数量的影响

与一定数量的缺陷相对应的缺陷特征应用极值分布不同，独立缺陷的应用系统更为正确，其中缺陷深度和长度是系统中每个组件的随机变量。然后可以将从这种表示获得的失败概率与来自前一部分的失败概率进行比较。

首先分析了代表缺陷特征独立的100个管道横截面的一系列体系。获得的结果(基于模拟样本大小为1 000 000)见表5。可以看出，对于两个最高级别的失败概率，结果大约是表4中数值的2倍。原因是：对于非常弱相关的部分，失效有可能发生在几个额外的横截面上，而不是最严重的缺陷所在的横截面(例如许多相互竞争的失效部分)。

表5 存在缺陷的100个横截面系统的失效概率

系列系统效应如图5所示。最下面曲线对应于单个缺陷的结果，而最上面曲线对应于100个独立缺陷并且压力平均值为7 MPa。

图5 单个缺陷与100个独立缺陷的失效概率

由于内部压力的变化系数非常低(即0.05)，因此考虑到故障事件之间的相关性的情况的结果与具有独立部件的情况非常相似。实际上，几乎不可能区分相关事件与独立事件曲线。然而，当内部压力的变化系数增加时，情况则变得不同，如一部分的结果如图6所示。图6是具有100个独立腐蚀缺陷的系统的可靠性指数作为变化系数(对于完全相关的)内部压力的函数图。对于压力C.o.V，“失效事件”之间的相关系数等于0.04。压力C.o.V为0.2时为0.05并且等于0.42，内压平均值为7 MPa。

图6 独立腐蚀缺陷系统可靠性指数变化-内部压力函数图

样品尺寸与之前相同(即1 000 000)，横截面的数量(以及相应的独立缺陷的数量)随后从100增加到1 000。失效概率结果见表6。失败概率大概增加了10倍，除了增加稍微数量更少的最高概率水平(即因子为7)。

表6 存在缺陷的1 000个横截面系统的失效概率。

2.4.2 缺陷维度之间相关性的影响

在具有1 000个存在缺陷的横截面的情况下，在缺陷尺寸之间引入增加相关性。缺陷长度和缺陷深度之间的成对相关性在许多离散相关间隔处从0变到1。由于所得到的失效概率比较低，对于平均压力水平为6 MPa，在表7中仅给出三个水平0, 0.5和1.0的结果的组合，并且在表8中给出平均压力水平为8 MPa的结果。

对于两个表格从左上角移动到右下角的两种情况，失败概率降低了大约2倍(即从两个缺陷特征的完全独立到完全相关)。对于两个平均压力水平，相对于不同缺陷的缺陷长度的相关性，失效概率相当低。从表中观察到的非均匀趋势(即为了增加表中某些条目的相关性，故障概率适当增加)认为是由于统计抽样变异性的人为影响。

表7 存在缺陷的1 000个横截面系统的失效概率

表8 具有缺陷的1 000个横截面系统的失效概率

2.4.3 压力变化增加导致相关性增加的影响

最后，增加100个缺陷并对各个故障事件之间的相关性的进行了研究。通过增加内部压力的变化系数来解决这个问题。对于C.o.V.，结果如图6所示，在0.05至0.2的范围内。可以计算横截面的“失效事件”之间的相应的成对相关性，并且其范围从最低值0.04到压力C.o.V的最高值0.4。

3 结 论

研究了增强蒙特卡罗模拟方法在具有多重腐蚀缺陷的管道系统可靠性分析中的应用。这种多重缺陷的存在要求进行结构系统可靠性分析。还需要考虑随机变量之间的相关效应。增加缺陷尺寸之间的相关性的效果可以将失效概率降低两倍。

此外，突出了失败事件之间的相关性的影响。正如预期的那样，随着相关程度的增加，失败概率会急剧下降。然而，在该效应开始产生任何影响之前，相关程度需要高于约0.2。对于这种类型的相关性，一旦相关性开始显著，故障概率可以降低几个数量级(参见图6)。

对于相关系数的较低值，可以简单地通过将单个缺陷的失效概率(基于腐蚀缺陷的尺寸的集合概率分布)乘以缺陷的总数来获得系统失效概率(参见表5和表6中的结果)。

如上所述，本研究主要是作为系统可靠性效应如何与腐蚀管道相关的基本说明。作为未来工作的一部分，还有许多其他主题需要更详细地解决。仅举几个不同类型故障模式的失效概率水平计算的例子，以及如上所述引入模型不确定因素的影响。

本文译自BERNT J. L, ARVID N, BRANDRUD N. Reliability Analysis of Corroding Pipelines by Enhanced Monte Carlo Simulation [J]. International Journal of Pressure Vessels and Piping, 2016(144): 11-17.