对一个三点共线问题的进一步探究

湖南省浏阳市教育科学研究所 (410300)

朱保仓

湖南省浏阳市长郡浏阳实验学校 (410300)

李剖华

文[1]对圆锥曲线中三点共线问题的解题策略进行了研究，读后受益非浅，特别是其中的例2引起了笔者的思考与探究，现将笔者的心得体会与大家交流分享．

图1

引例(文[1]例2)如图1,已知曲线C:x2+2y2=8，设曲线C与y轴的交点为点A、B(点A位于点B的上方)，直线y=kx+4与曲线C交于不同两点M、N，直线y=1与直线BM交于点G，求证：A、G、N三点共线．

问题题目中的结论是特定椭圆的特有性质吗？一般椭圆是否都有类似的性质呢？

图2

将①代入②知②成立,所以A、G、N三点共线．即猜想成立．

图3

图4

将①式代入易得③式成立,所以A、G、N三点共线．

探究3 将A、B换成长轴上的两点，是否会有类拟的结论呢？

通过探究，可以得到如下结论：

图5 图6

证明过程与猜想2的证明过程类似，在此不再赘述．