过圆锥曲线准线上一点的切割线性质

江西省赣州市第一中学 (341000)

宁荣富

笔者在研究过圆锥曲线准线上一点的切割线时,发现它们具有一个统一性质,现将结论展示如下.

图1

连结PF交椭圆C于点D、E,过A、B分别作准线l的垂线AA′、BB′,垂足为A′、B′.

由②、③、④得sin∠PFA=sin∠PFB,而∠PFA<∠PFB,故∠PFA=π-∠PFB,也即∠PFA=∠EFB,∴∠T1FA=∠T1FB,命题1成立.

类比上述方法可证明双曲线的情形,即有下列命题成立.

图2

命题3 已知P是抛物线C:y2=2px(p>0)准线l上一点,抛物线焦的点为F,过点P作抛物线C的两条切线和一条割线,切点为T1、T2,交点分别为A、B.则有(1)PF⊥T1T2;(2)T1T2平分∠AFB.

图3

由⑤、⑥、⑦及∠PFA<∠PFB,得∠PFA=π-∠PFB,∴∠PFA=∠EFB,即∠T1FA=∠T1FB,命题3成立.