微积分推导与证明新方法

朱和民

摘  要：该文从研究微分推导中含?项的意义，提出含?项的意义是平均增加速度，切线和法线是曲线上连续三点组成三角形的内外角平分线。在证明积分时，提出将积分求面积问题转化为求体积问题或转化为求平均高问题等新算法进行证明，在证明过程中不再需要用到趋于零不为零和黎曼和的约等于就是等于等逻辑自相矛盾的概念，证明过程更符合数学逻辑、更简洁准确。

关键词：微分  平均增加速度  积分  平均高度

中图分类号：O172    文献标识码：A             文章编号：1672-3791（2019）04（c）-0197-04

微分自创立之日至现在一直没有阐明含?项的意义，含?项的意义不清楚就无法准确解释为什么在求导时要将其消去。在证明积分时黎曼和求得的面积是明明是约等于，而最后的结果又是等于。这些逻辑自相矛盾的证明是不严密的，历代数学家们虽然提出很多晦涩繁杂的论证，但是在运算时依然得使用这些自相矛盾的概念。比如在求导时，一边念叨着含?项不为零，一边又把它们当作零消去，每一次求导都是对求导者逻辑的折磨。该文从微分和积分起源论证微分和积分的逻辑缺陷，并提出新计算方法对微分和积分进行证明。

1  微积分的起源及其逻辑缺陷

微分的起源有两个，一是牛顿求时点速度，另一为莱布尼茨求切线。它们的论证过程出现相悖的逻辑问题，自创立之日就引起巨大的争议，引发第一次数学危机，且持续数百年不断。

1.1 从速度角度对微分的证明

1.1.1 牛顿通过求时点速度推导微分

微分起源之一为牛顿求时点速度，速度等于距离除时间，时点的距离和时间长度是零，零除零是没有意义的，无法直接用距离除时间求得时点速度。为了求时点速度，牛顿提出流数理论。例如，作自由落体物体为匀变速直线运动，其距离方程为s=s（t）（s表示位移，t表示时间），求物体在t时点速度Vt。由于在t时点，距离和时长为零，无法求出t时点速度Vt。牛顿的思路是先求得t点到t+?t点时段的平均速度，当时间间隔?t无限小时，?t时段内速度的变化会极小，可以用其代表t时点的速度，即当?t→0时。例如初速为零的自由落体运动公式，?t时段平均速度。当?t→0时，?t等于零，所以t时点速度v=gt。

1.1.2 牛顿求微分过程的逻辑缺陷

牛顿在求时点速度推导微分过程中，当?t作除数时，?t不为零，在求最后结果时又让含?t项作为零消去。在同一运算过程中?t一时不为零，一时又要作为零消去的推导过程，存在自相矛盾的逻辑缺陷，曾引发第一次数学危机。

1.1.3 牛顿求微分的悖论：自由落体运动为匀速运动。

牛顿为求t时点速度，求s'得到s'=gt+?t，当?t→0时，求其极限，把含有?t的?t消去，得到式子Vt=gt，进而得出时点速度公式（即导数）公式V=gt。牛顿推导过程存在逻辑问题，从理论上讲t时点和t+?t时点均有一个速度，而自由落体运动为匀速运动，gt+?t无限接近t时点速度同时也会同等接近t+?t时点速度，如果gt+?t能代替t时点速度，也能代替t+?t时点速度，t时点和t+?t时点将会相等的悖论。把时间t把代入求得t时点速度vt=gt，把时间t+?t代入求出t+?t时点的速度Vt+?t=g（t+?t）=gt+g?t，而?t→0，同理也应将g?t消去，求得t+?t时点速度Vt+?t=gt，而Vt+?t=gt=Vt，两者速度相等，依此类推，Vt+n=gt=Vt（n为任意时点），这就意味着自由落体运动任意时点速度均相等是匀速运动的悖论。

1.1.4 牛顿的证明存在逻辑矛盾而结果却正确的原因

牛顿目标是求t时点的速度，而运算求得的是t时点至t+?t时点时间间隔内（即?t时间段内）平均速度，?t时间段内平均速度与t时点的速度是不相等的，要求得t时点的速度，要将平均速度gt+?t减去平均速度与t时点的速度之差?t。这就是为什么牛顿逻辑错误而结果正确的原因。

对于匀变速运动，除了用位移除时间求平均速度外，还可以用两点速度之和除2方法求得，用此方法求得的速度公式就不存在纠结?t是否为零的问题。静止物体从高处自由落下，其距离公式为，初速度v0=0，t时点速度Vt，t时段内平均速度，物体距离公式也可以用平均速度乘上时间表示，即s=，，所以公式，约简后得到速度公式vt=at。

1.1.5 含?t项式子的意义

在微分推导过程中，只是一味将含?t项当作垃圾项消去，从未阐明含?t项的意义，只有阐明含?t项的意义，才能真正论证清楚为什么要将含?t项消去。我们依然以自由落体为例来论证，对求导则有，的意义是质点在?t时间段运动过的距离?s除时间?t，它的意义就是质点在?t时段内的平均速度，而?t的意义是质点在t时點的速度，g?t的意义是在?t时段内，质点因增加?t时间而增加的速度平均数，即平均增加速度。

假设距离与时间存在如下关系s=t3，则质点在?t时段平均速度，则3t2+3t?t+?t2为t点到t+?t点平均速度，3t2为t点速度，3t?t+?t2为t点到t+?t点的平均增加速度。根据时点速度公式v=3t2，将t+?t代入可以求得t+?t时点速度Vt+?t=3t2+6t?t+3?t2。当然我们也可以根据v=3t2求得在?t时段内，在何时点达到平均速度3t2+3t?t+?t2。求法如下：假设在x时点达到平均速度，则有3x2=3t2+3t?t+?t2，解方程求得x=。假设在t+x时点达到平均速度则有3（t+x）2=3t2+3t?t+?t2，解方程得x=-t。依此类推，假设距离与时间存在如下关系s=tn，则质点在?t时段平均速度含?t项，则ntn-1+含?t项为t点到t+?t点的平均速度，ntn-1为t点速度，含?t项为t点到t+?t点的平均增加速度。含?项的意义就是因自变量时间t变化?t时间导致平均增加速度的变化。