数形结合明晰算理

黄赵勇

【教材分析】

“小数乘小数”一课是人教版教材五年级上册“小数单元”的例3，安排在“小数乘整数”之后学习，为后续的“小数除法”的学习铺垫。教材编排意在从问题情境中引出小数乘小数的生活需求，在计算方法上只展示出列竖式这一种计算方法，包含着转化成整数乘法计算的思想，用“积的变化规律”作为计算的算理解释。（如下图）

【学情分析】

学生在前期的学习中已经掌握了“整数乘整数”“小数乘整数”的计算方法和算理，也有了算法多样的经验积累，如通过单位换算来将小数转化为整数计算和列竖式计算等。同时，学生也有一定的知识迁移经验积累，能密切感受到小数与整数之间的联系与区别。但是，学生较难从数的意义角度去思考数的运算，对数的运算算理的理解是浅薄的。

【设计理念】

1.从数的本质上明晰算理

为什么积的小数位数和所有乘数的小数位数之和是一样的呢？教材给出的解释是应用“积的变化规律”，但是这并不是算理的本质。积的变化规律应该只能作为小数乘小数的计算方法的演绎推理或验证方法。华罗庚说：“数（shù）起源于数（shǔ），量（liàng）起源于量（liáng）。”每个数都是计数单位度量的结果，是计数单位的积累。小数是数，小数的运算就应该紧扣数的意义和计数单位，其本质是算理，这节课重点引导学生从数的意义和乘法的意义角度去明晰小数乘法的算理，小数乘小数的本质是计算单位的运算，那么0.1×0.1的算理就是基础，它表示十分之一的十分之一，0.1×0.1得到了一个新的统一的计数单位0.01。在这个基础上再理解一位小数乘一位小数的算法。

2.数形结合理解算理

对于小数乘小数的算理和算法的建构，采用数形结合的方法进行探究。对于0.1×0.1的理解，利用百格图直观帮助学生理解十分之一的十分之一是百分之一，在此基础上，再用正方体代表“1”，理解0.01×0.1=0.001。这样能沟通知识之间的联系，把握知识的本质，凸显转化思想。将一个数与小乘相乘的积与原数的大小进行比较，也能通过条形图直观地显示出来。

3.注重知識网络建构，促进算法迁移

在小数乘小数计算方法这一基本技能的教学中，注重算法多样化，让学生根据已有的关于小数乘整数的计算方法、积的变化规律等知识和经验来自主探究小数乘小数的计算方法，利用已有知识解决新问题。整数乘法和小数乘法在算理本质上是相同的，帮助学生理解算理之间的联系：都是若干个计数单位的运算，整数是几个一乘几个一，小数乘法是几个十分之一乘几个十分之一，得到几个百分之一……从数的本质上理解了算理后，学生在构建知识网络的基础上，自然能进行算法迁移，对于更多位小数的运算迎刃而解，学习能力不断提升。

【教学目标】

1.知识技能：通过旧知迁移，引导学生自主探究小数乘小数的多种计算方法，并从数的意义角度理解小数乘小数的算理。引导学生总结基本算法，并掌握确定积的小数点位置时特殊情况处理方法。引导学生发现一个因数比1大（或小）时，积和另一个因数的大小关系。

2.过程方法：通过数形结合理解算理，把握数学知识的本质，在自主探究、合作交流汇报中发展学生的思维，在对比沟通中构建知识体系，发展知识迁移能力。

3.情感态度价值观：让学生感受数学与生活的联系，体验数学的严谨性，感受数学知识之间的紧密联系，感受数学的结构性。

【教学重点】小数乘小数的多种计算方法，并从数的意义角度理解小数乘小数的算理。

【教学难点】小数乘小数的算理理解。

【教学预案】

一、提取信息，提出问题

1.出示情境：（如下图）

2.从中得到哪些数学信息？能根据这些数学信息提出什么数学问题？

预设1：宣传栏的面积是多少平方米？

预设2：给宣传栏刷油漆需要多少千克油漆？

二、初探算法，理解算理（一位小数乘一位小数）

1.列式：解决问题1“宣传栏的面积是多少平方米”

2.估一估2.4×0.8的近似结果

3.自主探究算法：请用你的方法计算2.4×0.8，并把你的想法表达清楚

4.汇报交流：请你展示你的作品并解释想法

预设方法①：24分米×8分米=192平方分米=1.92平方米。

追问：如果没有单位名称怎么办？这样的方法适用于所有的小数乘小数吗？

预设方法②：24×8=192，从后面数两位，点上小数点，2.4×0.8=1.92。

追问：为什么小数点点在这里？

预设方法③：列竖式。

追问：列竖式中运用了一个什么数学知识？（积的变化规律）

预设方法④：24个0.1×8个0.1=192个0.01=1.92

追问：为什么是192个0.01，而不是192个0.1呢？

【设计意图：学生在小数乘整数学习中有一定的知识和经验累积，给学生自主探究的空间，注重算法多样化，在不同算法中抓住思维关键点进行追问，帮助学生思考算法背后的算理。】

5.数形结合，理解算理

①0.1×0.1

0.1×0.1表示十分之一的十分之一，我们用一个正方形表示1，那么0.1×0.1可以怎么表示呢？

根据学生的描述出示直观图（如右图）：十分之一的十分之一就是一百分之一，也就是0.01，得出0.1×0.1=0.01。

②2.4×0.8

2.4×0.8就是24个0.1乘8个0.1就是129个0.01，也可以用图表示出来。（如下图）

6.总结算法，对比沟通

①同学们有了四种思考方法，各用了什么知识方法呢？

总结：单位换算;转化为整数计算;运用积的变化规律;根据数的意义进行计算。

②各个方法中有什么共同点？

总结：都有24×58=192的计算过程，就是把小数乘法转化为整数乘法。

【设计意图：小数的本质是数，通过数形结合，引导学生从数的意义角度去理解一位小数乘一位小数的积为什么要从整数乘得的积后面数两位点上小数点的原理，因为0.1×0.1=0.01，这是小数运算的真正算理。在多种算法的理解之后，再联系沟通各种算法不同与相通之处，构建完善的知识体系。】

三、自主学习，迁移算法（两位小数乘一位小数）

1.列式：解决问题2“给宣传栏刷油漆，需要多少千克油漆”

2.自主探究计算1.92×0.9

3.展示汇报（重点交流两个方法）

①利用积的变化规律列竖式

②根据数的意义进行计算

追问：0.1×0.01等于多少？你是怎么想的？

出示直观图（如右图）：把一个正方体看成1，十分之一的百分之一就是它的千分之一。即：

0.01×0.1=0.001

192个0.01×9个0.1=1728个0.001=1.728

四、总结算法，沟通联系

1.你能用自己的语言总结一下小数乘小数的计算方法吗？

总结：把小数乘法转化为整数乘法，先按照整数乘法算出积，再看两个因数中一共有几位小数，就从积的末尾起数出几位，点上小数点。（一乘二数三点）

2.为什么小数乘法可以转化为整数乘法呢？

小数和整数都是数，数就是由若干个计数单位组成的，不管是整数相乘还是小数相乘，都可以用整数相乘的方法计算，得到的积就是一个新的、统一的计数单位的个数。

整数乘法：（ ）个10×（ ）个10=（ ）个100

（ ）个1×（ ）个1=（ ）个10

小数乘法：（ ）个0.1×（ ）个0.1=（ ）个0.01

（ ）个0.1×（ ）个0.01=（ ）个0.001

3.那么，我们就只会计算一位小数乘一位小数、一位小数乘两位小数吗？你还会计算哪些小数乘法？

【设计意图：将整数乘法和小数乘法进行沟通联系，让学生理解数的计算其实就是计数单位的计算，将小数看成整数相乘后得到的积就是一个新的、统一的计数单位的个数，数的运算的算理是相通的，学生就能将方法迁移到多位小数的乘法上，一脉相承。】

五、巩固练习，完善算法

1.出示：3.7×4.6=  0.48×1.5=  0.56×0.04=

2.预测一下，各算式的积是几位小数？

3.独立计算

4.汇报总结

①计算后有什么發现？

②对小数乘法的计算方法有什么补充？

③总结：如果积的小数末尾是0，可以省略;如果积的小数位数不够，要在前面用0补足，再点小数点。

六、数形结合，拓展延伸

1.出示问题：苹果每千克2.8元，小明买1.5千克要多少元？小军买0.8千克要多少元？

2.列式计算

3.比较两个算式，你有什么发现？

4.结合条形图帮助理解

5.总结：一个数乘1，积与原数相等;一个数乘一个比1大的数，积会比原数大;一个数乘一个比1小的数，积会比原数小。

6.对比：一个数乘不是1的整数呢？为什么？

七、总结

1.回顾我们学习小数乘小数的计算，你有什么新的收获？

2.整理总结

①计算方法：多种方法;转化成整数;0.1×0.1=0.01……

②需要提醒：小数点的位置确定特殊情况。（末尾有0、位数不够）

③与小数相乘的积与原数相比大小变化情况。