例谈赋值取点幕后的精彩*

湖南省长沙市天心区书香路明德中学(410009) 杨果

利用导数研究函数的零点或方程的根、利用导数研究不等式、利用导数求参数的取值范围是近年来高考命制压轴题的热点，也是难点中的难点，对学生的思维要求很高.

要破解这些问题很多时候都绕不开对函数零点的找寻，但很多函数的零点是难以解出来的，只能利用零点存在定理和单调性设而不求，这其中少不了“赋值取点”和“放缩法”两大利器，然而赋什么样的值? 取什么样的点? 如何放缩? 怎样想到要这样做? 常让人感到天马行空，以至于不少学生连参考答案都难以完全看懂，感觉某一个式子出现得很突兀，很不自然，就像“魔术师的帽子里突然蹦出一只兔子”似的.

事实上，参考答案的解答都是在经历了一系列逻辑推理后给出的完美呈现，是给台前的观众看的，而看不见的幕后精彩则需要用重要的数学思想——“分析法”、“放缩法”来还原.

1.案例分析

例1(2015年高考全国I 卷文科数学第21 题)设函数f(x)=e2x-a ln x.

(1)讨论f(x)的导函数f′(x)零点的个数;(2)略.

解(1) f(x) 的定义域为(0,+∞)，(x ＞0).当a ≤0 时， 恒有f′(x) ＞0， 故f′(x) 没有零点;当a ＞0 时， 因为e2x单调递增，单调递增， 所以f′(x)在(0,+∞)单调递增，又f′(a) ＞0，当b 满足且时，f′(b)＜0，故当a ＞0 时，f′(x)存在唯一零点.

深入剖析对于a ＞0，f′(a) = 2e2a-1 ＞0 容易想到，但在寻找f′(b)＜0 时，为何取且呢? 事实上，为了使只需将2e2b缩小一点，将放大一点，例如先取正数使因为所以再让即可，即只需再取即可.从以上分析和放缩可以看出，b 的取法显然不是唯一的，照此取法还可先取正数使2e2b＜2e，因为2e ＜6，所以再让即可， 即只需再取即可， 故取且同样能使f′(b)＜0.

例2(2017年高考全国I 卷理科数学第21 题)已知函数f(x)=ae2x+(a-2)ex-x.

(1) 讨论f(x)的单调性;(2) 若f(x)有两个零点，求a的取值范围.

解(1)f(x)的定义域为(-∞,+∞)，f′(x) = 2ae2x+(a-2)ex-1=(aex-1)(2ex+1)，

(1.1) 若a ≤ 0， 则恒有f′(x) ＜ 0， 所以f(x) 在(-∞,+∞)单调递减.

(1.2 ) 若a ＞ 0， 则由f′(x) = 0 得x = -ln a.当x ∈(-∞,-ln a) 时， f′(x) ＜0; 当x ∈(-ln a,+∞)时， f′(x) ＞ 0， 所以f(x) 在(-∞,-ln a) 单调递减， 在(-ln a,+∞)单调递增.

(2)(2.1) 若a ≤0，由(1)知，f(x)至多只有一个零点.

(2.2) 若a ＞ 0， 由(1) 知， f(x)min= f(-ln a) =+ln a.

①当a = 1 时，由于f(x)min= f(-ln a) = 0，故f(x)只有一个零点;

设正数n0满足则en0＞所以f(n0) = en0(aen0+a-2)-n0＞en0-n0＞0，由于ln a，因此f(x)在(-ln a,n0)有一个零点，故f(x)在ℝ 上有两个零点.综上，a 的取值范围为(0,1).

深入剖析此处取更让人惊呼不可思议， 怎么想得到呢? 事实上， 利用切线法容易发现x ＜x+1 ≤ex，由此可采取放缩： x ＜ex，得到

令aex+a-3 ＞0 得解得注意到ln因此想要在(-ln a,+∞)内取n0使f(n0)＞0，只需取即可.

例3(2018年长沙市一中模拟考试第21 题)已知函数

(1)当a=e 时，讨论函数f(x)的单调性;

(2)当a ＞e 时，证明： f(x)≥a-a ln a.

解(1)略.(2)f(x)的定义域为(0,+∞)，

当0 ＜x ＜1 时g′(x) ＜0， 当x ＞1 时g′(x) ＞0， 所以g(x) 在(0,1) 递减， 在(1,+∞) 递增.下面先证x ＞0 时记

则h′(x) = ex- x - 1， 易知ex≥x + 1， 所以h′(x) ＞0， 所以h(x) 在(0,+∞) 递增， 所以h(x) ＞ h(0) = 0，故所以从而因为a ＞ e， 所以+a+1- a =+1 ＞0， g(1) = e -a ＜0， 另一方面我们注意到且所以(1,2a) 使g(x1)=g(x2)=0，且当x ∈(0,x1)∪(x2,+∞)时g(x)＞0，当x ∈(x1,x2)时g(x) ＜0.注意到0 ＜x1＜1 ＜x2， 故当x ∈(0,x1)时f′(x) ＜0，当x ∈(x1,1)时f′(x) ＞0，当x ∈(1,x2) 时f′(x) ＜0， 当x ∈(x2,+∞) 时f′(x) ＞0，故f(x) 在(0,x1) 递减， 在(x1,1) 递增， 在(1,x2) 递减，在(x2+∞) 递增， 所以f(x)min= min{f(x1),f(x2)}.由知所以ln x1-x1= -ln a，所以同理f(x2)=a-a ln a，所以f(x)≥a-a ln a.

深入剖析本题让学生感到最不可思议之处是对于ex的放缩：是怎么想到的? 事实上，有时高考命题的灵感会来自高等数学的一些简单公式[1]，例如下面.

泰勒展开式设f(x)在a 的一个邻域内有n-1 阶导数，在a 点有n 阶导数f(n)(a)，则

设f(x) = ex，取a = 0，即得

由此发现，当x ＞0 时，若展开两项可得ex＞x+1，若展开三项可得如此放缩，后面的赋值取点就容易得多了，所以说放缩是为赋值取点服务的!

利用泰勒展开式为背景编制的高考真题还有如下两例，有兴趣的读者不妨一试.

例4(2010年新课标卷理科第21 题第2 问) 设f(x) = ex-1-x-ax2.若x ≥0 时f(x) ≥0， 求a 的取值范围.

例5(2015年高考北京卷理科第18 题第2 问)已知函数求证：当x ∈(0,1)时，f(x)＞2

2.教学感悟

波利亚认为掌握数学就需要善于解一些要求独立思考、思路合理、见解独到和有发明创造的题.这就需要冷静地分析和深入地探究，对万事万物都应透过表层审视内部，追本溯源，只有回归问题的本质才能洞察其中的机理.

这就要求教师在解题教学时不能唯参考答案是从，必须启发学生学会去分析为什么要这样解，让学生知其然还要知其所以然，教学才能做到以理服人;和学生一道去探寻解题幕后的精彩故事，在探究中渗透数学思想方法，在分析中提升学生逻辑推理的数学核心素养.