一种悬索桥主缆计算的新方法

邓小康，徐恭义

(1. 武汉科技大学 汽车与交通工程学院，湖北 武汉 430081；2. 中铁大桥勘测设计院集团有限公司，湖北 武汉 430050)

悬索桥的设计和施工控制都需要对主缆线形进行精确计算[1]，计算方法主要包括非线性有限元法和数值解析法两种，其中数值解析法是已知主缆所受外力条件下主缆线形和内力计算的一种方法[2-3]，与有限元法相比，其能简便模拟主缆与鞍座的接触问题和鞍座的顶推等，并具有解答精确、输入数据少、计算速度快的特点[4]。

目前用于悬索桥主缆计算的数值解析法主要包括传统抛物线法、分段抛物线法、分段直线法、分段悬链线法和参数方程法等。

文献[5-6]对分段悬链线法进行了详细阐述，假定主缆自重沿变形前的长度均匀分布，计算结果与实际情况最为相符[7]。但是该种方法对线形偏差与内力修正的迭代计算繁琐，迭代收敛速度较慢[8]，甚至在某种荷载作用下其迭代计算得不到结果[7，9]。

文献[10-11]提出参数方程法，假定主缆自重沿主缆长度方向均布，其余恒载看作沿跨径方向均布，由此建立平衡微分方程，并引入一个参变量求解方程，该方法虽然计算简便、收敛较快，计算精度也能满足工程要求，但其本质上仍是一种近似方法[12]。

本文基于对主缆索段的受力分析，在建立各索段统一线形方程的基础上，找到主缆最低点的位置及其斜率，利用变形相容条件建立方程，以主缆索力水平分力的变化规律求解方程，提出一种受力更明确、适应性更强、计算更简便的主缆线形计算方法，本文将其总结为斜率爬升法。

1 主缆索段的划分及受力分析

1.1 计算假定及索段的划分

分析计算过程中，采用以下假定：(1)主缆材料符合胡克定律，应力-应变呈线性关系；(2)主缆为理想柔性，即既不受压，也不受弯；(3)受力后主缆抗拉刚度的计算使用变形前的主缆面积[1]。

坐标系Ⅰ下的主缆计算模型及索段划分示意见图1。跨径为L的主缆以最低点A(即全桥主缆的斜率最小点，位置待求)为界，左侧(m-1)个吊杆将主缆分为m段，右侧(n-1)个吊杆将主缆分为n段。以最低点A为原点建立坐标系Ⅰ，y轴竖直向上，左侧x轴正向水平向左，右侧x轴正向水平向右。

图1 坐标系Ⅰ下的主缆计算模型及索段划分示意

令左边主缆垂度为f1，跨径为L1；右边主缆垂度为f2，跨径为L2。索段的受力情况：索段两端承受吊杆传来的集中力P，中间承受沿索长均匀分布的主缆自重q。

1.2 索段受力分析和全桥主缆线形与斜率的关系

1.2.1 不考虑主缆弹性伸长对主缆自重荷载集度影响

在坐标系Ⅰ下，取最低点A的左侧主缆进行分析，对其上任意索段i，由竖直方向力的平衡条件，可得

(1)

式中：H为索段上任一点索力的水平分力。

定义索段上任一点的斜率为

(2)

代入式(1)，得

即

(3)

解式(3)，可得

(4)

式中：D1为积分常数。

求反函数，可得

(5)

将式(2)与式(3)相乘，可得

解得

(6)

式中：D2为积分常数。

式(4)～式(6)为索段i的线形方程，由于H和q在全桥主缆范围内为常量，故式(4)～式(6)对每个索段的方程形式均一样，当将所有索段的原点都取为A点(即坐标系Ⅰ)时，每个索段的积分常数D1和D2取值不一样，即各索段为了满足主缆线形连续，出现了曲线平移。为更好地分析主缆线形与斜率之间的关系，本文将索段曲线还原至其平移前的位置。

对任意索段i，将其坐标系原点移至索段曲线上斜率为0的位置，x、y轴的方向同前述，得到坐标系Ⅱ，见图2。此时应有边界条件x=0，y=0，z=0，代入式(4)～式(6)，可得D1=0，D2=-H/q。此时，索段i的线形方程变为

(7)

(8)

(9)

式(7)～式(9)不包含任何索段i的信息，仅与坐标系Ⅱ下的主缆坐标有关，所以在将各索段自身的坐标系原点移至索段曲线斜率为0的位置后，全桥主缆线形方程可统一为式(7)～式(9)。

图2 坐标系Ⅱ下的索段示意

将图1中的左边主缆都按上述方法统一到坐标系Ⅱ下，见图3。最低点作用有集中力的情况(最低点斜率不为零)见图3(a)，最低点无集中力作用的情况(最低点斜率为零)见图3(b)。定义任意索段i低点位置的斜率为zL(i)，对应的横坐标为xL(i)，纵坐标为yL(i)；高点位置的斜率为zH(i)，对应的横坐标为xH(i)，纵坐标为yH(i)。

(a) 有集中力

(b) 无集中力图3 坐标系Ⅱ下最低点有无集中力作用时的主缆示意

由于吊杆处有集中力作用，主缆斜率不连续，由式(7)和式(9)可得吊杆作用处曲线的横坐标和纵坐标也不连续。图3中的每个阴影段都对应于主缆上一个索段，其线形即为索段的真实线形。

1.2.2 考虑主缆弹性伸长对主缆自重荷载集度影响

由胡克定率，可得

(10)

式中：ds为有应力状态下主缆的微段长度；ds0为无应力状态下的微段长度；A0为无应力状态下主缆的横截面面积；E为主缆所用材料的弹性模量；T为主缆任意点的索力。

(11)

由质量守恒定律，可得

q0ds0=qds

(12)

式中：q0为无应力状态下沿索长均布的主缆自重荷载；q为有应力状态下沿索长均布的主缆自重荷载。

由式(11)和式(12)，可得

(13)

由力的分解关系，可得

(14)

式中：z为斜率。

将式(14)代入式(13)，可得

(15)

将式(15)代入式(1)，可得

(16)

将式(2)代入式(16)，可得

(17)

求倒数，则

(18)

求解得

(19)

式中：D3为积分常数。

将式(2)与式(18)相乘，可得

(20)

求解得

(21)

式中：D4为积分常数。

(22)

(23)

式(22)、式(23)为考虑主缆自重荷载变化时的主缆线形方程。

当已知某一点在坐标系Ⅱ下的横坐标x时，采用二分法求式(22)，可得斜率z。

由

将左边主缆按上述方法统一到坐标系Ⅱ下，同样可得图3。

2 主缆对称时变形相容方程的建立和求解

2.1 主缆斜率最小点的确定

由主缆的对称性可知，此时斜率最小点(最低点A)应位于主缆的跨中位置。

当A点作用有集中力P(m)时，点斜率zL(m)为

(24)

当A点无集中力作用时，该点斜率为

zL(m)=0

(25)

2.2 变形相容方程的建立和求解

将左边主缆按照前述方法统一到坐标系Ⅱ下可得图3。

以不考虑主缆弹性伸长对主缆自重荷载集度影响为例，将式(24)或式(25)代入式(7)中，可得主缆最低点在坐标系Ⅱ下的横坐标为

(26)

定义索段i在水平方向上的长度为L(i)，在式(26)中加上索段的横向长度，即得第m个索段最高点的横坐标为

xH(m)=xL(m)+L(m)

(27)

代入式(8)，可得第m个索段最高点的斜率为

(28)

将式(24)(或式(25))和式(28)代入式(9)，可得第m个索段的高差为

f(m)=yH(m)-yL(m)=

(29)

集中力P(i)作用点左右的两个索段应满足

H·zL(i)-H·zH(i+1)=P(i)

可得

(30)

将式(28)代入式(30)，即可得zL(m-1)。

对第m-1个索段至第1个索段，重复式(26)～式(30)的过程，即可得各索段的f(i)。

建立主缆变形相容方程为

(31)

由于f(i)均只含有H一个未知数，所以式(31)为关于H的一元非线性方程。

构建函数

(32)

在其他条件不变时，主缆的垂度增加，主缆索力的水平分力将减小[13]。任意给定一个H的初值H0(如10 000 kN)，如f′=0，则说明此时的H0为式(31)的解；如f′>0，则说明H0取值偏小，令H0=10×H0，再次代入式(32)，直至f′<0，则H的求解区间为[H0/10，H0]；如f′<0，则说明H0值偏大，令H0=H0/10，再次代入式(32)，直至f′>0，则H的求解区间为[H0，10H0]。在上述求解区间内对式(31)采用二分法求解，即可求得H。

该求解过程对平面主缆悬索桥的线形计算一定收敛，且收敛速度很快。

上述二分法求解H时，最后一次的迭代过程同时计算出了索段i在坐标系Ⅱ下的zL(i)、xL(i)、zH(i)、xH(i)和f(i)。

对于考虑主缆弹性伸长对主缆自重荷载集度影响时的情况，可参照上述方法确定斜率最小点的位置和其斜率大小，并由式(22)、式(23)和式(30)重复计算可得各索段的高差f(i)，进而建立式(31)并求解。

本文将上述对主缆结构的计算过程称为斜率爬升法。

3 主缆坐标和长度的计算

3.1 主缆坐标的计算

主缆坐标的计算可归纳为在坐标系Ⅰ下已知某点的横坐标x，求纵坐标y。仍以不考虑主缆弹性伸长对主缆自重荷载集度影响的情况为例。

前述过程已求得坐标系Ⅱ下任意索段i的zL(i)、xL(i)、f(i)。

对坐标系Ⅰ下主缆上的任意点，假定其位于索段j上，其与索段j最低点在水平方向上的距离为xC，于是该点在坐标系Ⅱ下的横坐标为

xZ=xC+xL(j)

(33)

将式(33)代入式(8)，可得该点的斜率为

(34)

将zZ和zL(j)代入式(9)，即可得该点与索段j最低点的高差为

fZ=y(x)-yL(j)=

(35)

该点在坐标系Ⅰ下对应的纵坐标为

(36)

如此反复即可求得主缆上各点的坐标。

对于考虑主缆弹性伸长对主缆自重荷载集度影响的情况，计算过程相同。

3.2 有应力索长的计算

3.2.1 不考虑主缆弹性伸长对主缆自重荷载集度影响

索段弧长的微分式为

(37)

将式(3)代入式(37)，可得

(38)

求解式(38)，可得

(39)

式中：D5为积分常数。

前面已经求出任意索段i最高点的斜率为zH(i)，最低点的斜率为zL(i)，代入式(39)，可得索段i的有应力索长为

(40)

左边主缆的有应力索长为

(41)

3.2.2 考虑主缆弹性伸长对主缆自重荷载集度影响

对任意索段，将式(18)与式(37)相乘，可得

(42)

求解得

(43)

式中：D6为积分常数。

s(i)=s[zH(i)]-s[zL(i)]

(44)

左边主缆的有应力索长为

(45)

3.3 无应力索长的计算

3.3.1 不考虑主缆弹性伸长对主缆自重荷载集度影响

将式(14)、式(38)代入式(11)，可得索段无应力弧长的微分式为

s0=Π(z)+D7

(47)

式中：D7为积分常数。

则索段i的无应力索长为

s0(i)=Π[zH(i)]-Π(zL(i)]

(48)

左边主缆的无应力索长为

(49)

这里求得的无应力索长是精确值[10]。

3.3.2 考虑主缆弹性伸长对主缆自重荷载集度影响

对任意索段，将式(14)、式(42)代入式(11)，可得

(50)

求解得

(51)

式中：D8为积分常数。

索段i的无应力索长为

(52)

左侧主缆的无应力索长为

(53)

4 不等高主塔时主缆的线形分析

限于地势与选线的要求，悬索桥有时采用不等高主塔的非对称设计，如云南普立特大桥，其左右两边主塔的高差达10.362 m[14]。当主塔高度不相等时(一侧支点抬高高度为h，主缆最低点水平移动距离为a)，带来主缆线形的偏移和内力重分布，过程见图4[15]。

图4 主塔不等高时悬链线最低点变化

主塔不等高时主缆计算示意见图5。图5中，f1≠f2且二者均不为零(为分析方便，取f1

令A点左侧斜率为zL(m)，右侧斜率为zL(n)。

图5 主塔不等高时主缆计算示意

当A点位于两吊杆之间时

zL(m)=zL(n)=0

(54)

当A点位于吊杆作用处时

(55)

式中：P为作用在A点的集中力。

接着开始寻找到A点的位置和往左右两侧的斜率。

将主缆以A点为界划分成左主缆和右主缆，对左右主缆按第1节方法分别计算其水平分力为H1、H2。定义函数

φ(xa,zL(m))=H1-H2

(56)

当xa为A点的真实位置时，左右两边的水平分力应相等，即

φ(xa,zL(m))=0

(57)

式(57)为确定不对称主缆最低点位置和斜率的非线性方程式。

在其他条件不变时，主缆的跨径增加，主缆索力的水平分力将变大[13]。同时由式(9)可知，当其他条件不变时，最低点的斜率增大，主缆索力的水平分力将变小。

可见当xa=0时，φ<0；当xa=L时，φ≥0。从左支点开始，分别将A点取在每个吊杆的位置，并将该点集中力P产生的斜率P/H全部作用在左边，即取左主缆的起始斜率为P/H，右主缆的起始斜率为0，计算出此时的φ。当φ在吊点i和j之间发生变号时，A点应位于吊点i(不含)和j(含)之间。

令Lk为吊点i和j之间的水平距离，xk为A点和i点的水平距离。

取xk=Lk，计算出此时的φ。当φ≥0时，A点位于i和j之间的主缆上；当φ<0时，应有A点位于j吊点上。

(1)A点位于i和j之间的主缆上

令i、j吊点离左边支点的水平距离为L(i)、L(j)。xka、xkb为二分法求解xa区间的两个端点，初始值为xka=L(i)，xkb=L(j)。

当xa=xka=L(i)时

φ=H1-H2<0

(58)

当xa=xkb=L(j)时

φ=H1-H2≥0

(59)

按照二分法的思路，令

(60)

计算xa=k时的φ，当φ<0 时，取xka=k；当φ≥0 时，取xkb=k。

重复上述步骤，当|xka-xkb|<ξ时(ξ为求解精度)，即得到A点的真实位置，此时A点左右两侧的斜率均为0，求得H1=H2为主缆的水平分力。

(2)A点位于j吊点上

当A点左侧斜率为zL(m)=za=0时

φ=H1-H2<0

(61)

φ=H1-H2≥0

(62)

按照二分法的思路，令

(63)

计算zL(m)=zk时的φ，当φ<0 时，取za=zk；当φ≥0 时，取zb=zk。

至此，最低点A的位置和左右两侧的斜率、主缆水平分力H均已求出，可按照前述方法确定主缆的线形及长度。

5 算例

某悬索桥[10]跨度L=888 m，吊索间距为12 m，主缆恒载集度q=54 kN/m，加劲梁等其余恒载集度W=200 kN/m，主缆面积A=0.6 m2，主缆弹性模量E=2.0×105MPa，分别按以下工况进行计算。

工况一 主塔顶等高，分别取跨中矢高f为60、70、80、90、100 m计算主缆的水平分力H、主缆在离左支点228 m处的y值和主缆的无应力长度，结果见表1～表3。

表1 水平分力H值比较 kN

表2 x=288 m时y值比较 m

表3 无应力长度的比较 m

由表1～表3可见，本文与文献[5，10]的计算结果基本一致，说明本文提出的悬索桥主缆计算新方法正确可行。几种计算方法中，传统抛物线理论得到的结果绝对误差最大，其相对误差较小，当对计算精度要求不高时，仍可应用于悬索桥主缆的设计和计算。计算结果还表明，考虑q变化与否对主缆线形和主缆长度计算的影响不大，但对水平分力计算的影响较大。

工况二 主塔顶不等高，取f1为60 m，f2分别取为60、61、62、63、64、65 m计算主缆的水平分力H、主缆的无应力长度和主缆最低点的位置与斜率(不考虑q变化)，结果见表4。

表4 主塔不等高对主缆线形和受力的影响

由表4可见，主塔的不等高将对主缆受力和主缆线形产生较大影响，如算例中的主塔高差每相差1 m，水平分力最大相差3 444.1 kN，无应力索长最大相差20.63 cm。主塔不等高时，主缆最低点将向较矮的主塔一侧偏移，当最低点在两个吊点之间时，主缆最低点左右两侧的斜率都为0；当最低点在吊点位置时，主缆最低点左右两侧的斜率随主塔高差的变化对斜率P/H进行分配。

6 结论

(1) 提出了一种求解悬索桥主缆线形的新方法即斜率爬升法，该方法从分析主缆索段的受力出发，在建立各索段统一线形方程的基础上，找到主缆最低点的位置及其斜率，利用变形相容条件建立方程，以主缆索力水平分力的变化规律求解方程，力学概念清晰，求解简单。经算例论证，本文的方法计算精度较高。

(2) 本文方法对平面主缆悬索桥的求解均能收敛。在计算主缆线形时多次使用二分法求解一元非线性方程，对每次求解本文都给出了求解区间，保证了计算过程的收敛性。

(3) 斜率爬升法的关键是找到主缆斜率最小点的位置和斜率。对称主缆的斜率最小点位于跨中位置，跨中无集中力作用时该点斜率为0，跨中有集中力时该点斜率不为0。

(4) 分别按考虑与不考虑主缆弹性伸长对主缆自重荷载集度的影响推导了斜率爬升法的求解过程，并提出了求解主缆坐标、有应力长度和无应力长度的方法；算例的结果表明，考虑与不考虑q的变化对主缆线形和主缆长度计算的影响不大，但对水平分力影响较大。

(5) 主塔的不等高将对主缆受力和主缆线形产生较大影响，不等高主塔的主缆斜率最小点向较矮的主塔一侧偏移，当最低点在两个吊点之间时，最低点往主缆左右两边的斜率都为0；当最低点在吊点位置时，最低点往主缆左右两边的斜率随主塔的高差变化对斜率P/H进行分配。