指定频带简谐力激励下约束阻尼结构的拓扑优化方法

陈长安

摘要：结构优化设计一直是结构设计的重点，在其中，结构拓扑优化则是最复杂最富有挑战性并且最有效率的一种优化方法，拓扑结构的改变可以明显提高结构的性能，另一方面也可以大幅度减少结构的用量，这就给很多难以解决的结构优化问题提供了可能性。针对指定频带简谐激励下阻尼约束结构的拓扑优化问题，建立能够做到使共振峰值平方最小且限定了约束阻尼材料用量的约束阻尼板块的拓扑优化模型。分析各种拓扑优化方法，最后采取渐进优化算法（ESO）来求解拓扑优化模型。

Abstract： Structural optimization design has always been the focus of structural design. Among them， structural topology optimization is the most complex and challenging and most efficient optimization method. The change of topology can significantly improve the performance of the structure. It is also possible to drastically reduce the amount of structure used， which opens up a number of difficult structural optimization problems. Aiming at the topology optimization problem of the damping constraint structure under the harmonic excitation of the specified frequency band， a topology optimization model of the constrained damping plate which can minimize the square of the resonance peak and limit the amount of the constrained damping material is established. Various topology optimization methods are analyzed， and finally  the progressive optimization algorithm （ESO） is adopted to solve the topology optimization model.

關键词：振动;简谐力;约束阻尼结构;动力学拓扑优化;灵敏度;共振峰值

Key words： vibration;harmonic force;constrained damping structure;dynamic topology optimization;sensitivity;resonance peak

中图分类号：TB535                                      文献标识码：A                                  文章编号：1006-4311（2019）14-0147-03

1  结构动力学优化的研究现状、意义和发展

1.1 结构动力学优化设计的研究现状

结构动力学的优化设计作为结构优化设计的一个新兴领域，也是结构优化设计理论的一个重要构成，与此同时也是当前工程结构设计研究领域中的前列课题。其主要设计目的是为了满足越来越重要的动力学环境对结构设计提出的要求。长久以来，工程师以及设计师都在探索如何提高自己产品的动力性能。结构拓扑优化能够显著地提高结构的性能并大量减少结构的重量，甚至可以让原来无解的问题有解。它是结构优化领域中挑战性最大的研究领域。连续体拓扑优化是指采用特定算法，决定需不需要在连续体内开孔洞、开多少孔洞来减轻结构的重量亦或是提高结构的某些性能。杆系结构的拓扑优化一般指构件的横截面积、节点坐标、节点之间连接方法的共同优化。在这之上考虑固有频率及动力响应约束的文献在国内外极为少见，可见结构拓扑优化的深入研究对于结构动力学优化设计来说是非常迫切的。

并且结构动力学拓扑优化设计是一种典型的结构动力学反问题。结构动力学拓扑优化设计的一个重要组成部分就是结构频率设计，它也包含着特征值反问题的部分。这种反问题求解非常困难，其困难之处在于反问题的解是否存在？如果存在，那么解又是否唯一？再者如何判断优化问题的解已经收敛到了最值？关于这些问题的研究在国内外非常的少见。

1.2 结构动力学优化设计的意义和发展

生产技术以及工业技术的飞速进步，尤其是航空航天工业进步带来的需求带动了高强度材料、大柔性结构型的产量激增。这就使振动问题越来越受到关注。振动问题不仅出现在航天航空以及土木等部门，在更高端的核工程或者更普遍的水路运输等几乎所有的工程领域都普遍存在。结构动力学的优化设计是在常规优化设计的基础上为了解决关键结构的振动严重问题而发展起来的，如飞机、航天器等的复杂结构的设计都是由许多部门协调完成的。当设计人员给出动力性能指标，强度要求以及设计人员进行给定具体外形以及拓扑条件下的优化目标时，结构设计人员其实事先也并不清楚所给的性能指标是否合理。由此可以看出：①在给定了初始设计目标及动力性能指标的情况下，首先我们要分析该优化问题的解的存在性，这样才可以不盲目优化，并且可以用以构造动力学拓扑优化准则。②研究新兴结构动力学拓扑优化的方法，以提高结构在动力工作环境时的性能，延长结构的使用寿命，提高抗振性能。③该研究方向具有广泛而深刻的研究意义和发展前景。小到各种机械零件，大到汽车飞机甚至桥梁隧道的设计。④动力学拓扑优化的研究还有蕴含着长远的学术意义，它超越了以往固定思维下的尺寸形状优化，将优化的思想提高到了另一个广阔的维度。

2  约束阻尼结构拓扑优化

2.1 拓扑优化模型

在约束阻尼结构受频带[ωi，ωh]的简谐激励下，如果频带内出现单或多的共振频率，则取共振峰值为X（ωi）。在理论研究中，我们常常将动柔度作为优化的对象，进而优化具体完整构件的动力学性能。但是在实际工程应用中，我们发现一些特定部位的频率响必须重点考虑。所以本文选用激励频段内结构特定位置的共振峰值的平方为优化对象，让其尽量的小，用以表示减小振动。约束条件设置为约束阻尼材料用量。

最后为了不出现棋盘格现象，网格独立滤波技术[3]就显得尤为重要，网格独立滤波技术简单来说就是将目标函数的灵敏度进行再分配，让某一单元的灵敏度与它周围单元的灵敏度联系起来，具体操作方式就将某一单元特定半径内所有单元的灵敏度进行一个加权平均，把这个平均数作为该单元的灵敏度。

3  拓扑优化方法的选择

传统的设计方法中，我们一般先设计一个初步方案，对初步方案进行结构性能分析，然后再根据分析结果改进设计，再分析，再改进，这其实就是一个优化的过程。由于设计参数与结构性能的关系不够明确，这种设计方法就会带有很大的盲目性，导致最终设计结构与最优结构相差甚大。于是就出现了结构优化设计。

结构优化设计宗旨是要求优化和设计的过程同时进行。结构优化设计在理论上一般分为三个层次：

尺寸优化：优化变量为杆件的横截面积或者板壳的厚度分布

形状优化：优化变量为杆系结构的结点坐标或连续体外形

拓扑优化：在杆系结构结构中，优化变量可以是杆件的结点位置、结点之间的杆系连接方式;在连续体结构中，优化变量一般认为是开孔数量，也就是说被优化构件连续体的内任一点都有可能开有任意大小和形状的孔洞。

结构拓扑优化最主要的面对对象就是连续体结构，总的来说，目前世界范围内基本上的连续体结构拓扑优化的研究者进行拓扑优化操作时的主要步骤都是：在有限元分析理论基础上，将被优化结构的设计域划分成若干有限单元，再根据一定的优化算法来判断被优化结构设计域里的各个单元哪些该保留哪些该部分保留甚至舍去，然后将设下的结构联系成为连续的孔洞结构。均匀化法、变厚度法、变密度法、渐进结构拓扑优化方法以及基于类桁架的拓扑优化方法是全世界拓扑优化研究者研究的热门方法，也是现今连续体结构拓扑优化领域里比较成熟的几种方法。

3.1 均匀化方法

均匀化方法（Homogenization Method）这种方法由20世纪著名的法国物理学家Lions最早提出，这之后Bends？覬e等在Lions的基础上，开始用空心单胞微结构的尺寸作为优化对象，然后把均匀化方法应用到了连续体结构的拓扑优化设计当中。

均匀化方法的应用目前还极其困难和复杂，由于其均匀化弹性张量非常难解，与此同时其空心单胞微结构的具体形状也很难界定，再者其单胞结构的函数灵敏度相较于其他方法也是很难分析。因为这些原因，均匀化拓扑优化方法的求解过程的复杂性限制了该方法的深入研究和向外拓宽发展。

3.2 变厚度法

變厚度法（Variable Thickness Method）这种方法实际上可以被认为是连续体拓扑优化方法的鼻祖，该方法的拓扑优化设计变量是基结构中的单元厚度，这样在设计单元里面改优化问题其实已经转变成为了尺寸优化的问题。这种变厚度方法的最大优势就是直观简洁，并且适用于大部分平面问题，譬如壳体或者薄板等。使用变厚度法中最具有代表性的研究有：Tenek和Hagiwara对于薄壳结构的拓扑优化研究以及程耿东等对平面膜结构的拓扑优化研究等。

3.3 变密度法

变密度法则是在均匀化方法的基础上改变而成的，它的设计变量是[0，1]区间里的材料密度。该方法运用了一个假定使得弹性模量可以有密度来表示，将这两种物理量联系起来，这样做的目的就是把拓扑优化问题转化成一种简，的材料密度分配问题。变密度法有两种模型：各向同性罚微结构模型法（Solid Isotropic Microstructures with Penalization，SIMP）和 材料属性有理近似模型法（Rational Approximation of Material Properties，RAMP）。使用这种变密度方法的具有代表性的研究主要有：王健和程耿东对应力约束下平面弹性结构的拓扑优化问题的研究以及Mlejnek关于变密度法模型的研究等。

总的来说变密度方法是算法上比均匀化方法更便于实施且应用更多的材料插值方法。它具有设计变量单一，计算不复杂，程序也相较下更加简单等优点。

3.4 基于类桁架的拓扑优化方法

基于类桁架材料模型的优化方法主要做法顺序是：

①首先该方法的优化对象是各项异性连续体，模型是特定的类桁架连续体材料模型。

②将被优化对象的结点位置的材料密度和方向作为设计变量，这种设计方法可以确保被优化对象在设计域内是连续的。接下来以此建立优化对象的弹性矩阵和刚度矩阵。这个过程不抑制中间密度或删除单元，所以不会出现“单元铰接”、“棋盘格”等数值不稳定问题。

③借助有限元思想以及满应力准则法，对优化对象进行分析计算，接下来通过一定次数的迭代建立材料的密度方向的分布场，这就形成了类桁架连续体结构。

从上面所述的方法可以看出来因为首先建立的拓扑优化结构是各向异性连续体所以相比较于其他优化方法这种方法具有更大的优化空间。与此同时还可以结合工程实际需要将其转化为离散的拓扑优化杆系结。

这种基于类桁架材料模型的优化方法的优势在于：

①首先采用类桁架材料模型得到拓扑优化的不均匀各向异性连续体。这个过程不抑制中间密度或删除单元，所以不会出现“单元铰接”、“棋盘格”等数值不稳定问题。比其他采用各向同性材料模型有更大的设计空间，更具有一般性。由于没有或较少近似和假设，可以更接近理论上的最优解。②根据优化类桁架连续体结果，适当选择部分传力路径形成带孔的均质各向同性连续体，或离散的杆系结构。③该优化方法先优化传力路径，形成类桁架连续体;然后用各向同性材料来代替类桁架材料，并优化孔或杆的分布;最后形成带孔均质各向同性连续体或离散桁架。这样避免了其他方法中将形成孔和优化传力路径两个问题在同个过程一起完成的困难。

基于类桁架材料模型的结构拓扑优化方法就是先用建立在理论上的优化类桁架结构的数值方法以解决类桁架结构的求解困难，然后离散化称为均匀各向同性带孔连续体或桁架结构，以实现各向同性连续体和杆系结构的拓扑优化。

3.5 渐进结构优化方法

渐进结构优化方法（Evolutionary Structure Optimization，ESO）是Xie和Steven于1993年提出的。这种渐进结构优化方法也就是ESO方法的基础在于准则设计法。该方法基本应用方式和思路是：

①首先运用有限元思想，将被优化对象进行有限个数的单元划分，紧接着再计算各个划分区域内单元材料具体对我们设定的目标函数以及约束作出了多少的贡献值。②在上一步的基础上，根据各个单元网格内部材料的贡献程度决定该单元的去留。③重复上述操作直到达到迭代终止条件。

可以看出来ESO算法其实是基于一个基本的假定：一步一步删除低贡献度的单元以使整体结构逐步完成优化过程。经过足量的研究和具体算例得出，这一假定事实上无法适用于每次迭代过程，只适用于一般情况。与此同时，该方法的研究大部分还在理论方面，工程实际应用相较于其他方法还是不足。并且动力学特性以及响应优化方面的问题的研究相较于其他方法依然较少。然而本文在经过多种方法的探寻后，发现渐进结构拓扑优化方法更适合于本文的研究方向。

4  漸进优化算法拓扑流程

总而言之，指定频带简谐力激励下约束阻尼结构的拓扑优化方法的具体操作过程和步骤总结起来是一个循环迭代的过程，具体操作如下：

①建立约束阻尼结构有限元模型，并设定优化相关参数。给定约束阻尼单元的密度值ρe为1。②对有限元模型进行模态分析，得出优化所需的各个参数，例如约束阻尼单元的体积质量、模态截断的次数、刚度矩阵、模态振型还有约束阻尼结构的固有频率等。③灵敏度分析以及独立网格滤波技术的执行。④计算下一步迭代目标的体积，确定删除单元的最低门槛值，当下一步计算出来的目标体积低于设定的门槛值时，将其体积设定为我们初始设定的最小体积。⑤删除灵敏度大于最低门槛值的约束阻尼单元，更新其设计变量ρe值为我们初始设定的最小密度比。⑥确认是否满足材料体积的要求，如果不满足，重复③～⑤，直至满足约束阻尼材料体积约束条件，如果满足，则结束迭代得出最终结果。

参考文献：

[1]房占鹏，郑玲，唐重才.指定频带简谐激励下约束阻尼结构拓扑优化[J].振动与冲击，2015，34（14）：135-141.

[2]房占鹏.薄壁构件约束阻尼结构动力学拓扑优化研究[D].重庆大学，2015.

[3]刘虎，张卫红，朱继宏.简谐力激励下结构拓扑优化与频率影响分析[J].力学学报，2013，45（04）：588-597.