正交小波的多分辨分析的研究

刘江

摘 要：本文引入并定义了函数系构成中的小波基。讨论正交小波构造方法。

关键词：小波;多分辨分析;构造方法

DOI：10.16640/j.cnki.37-1222/t.2019.17.203

最早的小波变换是不需要在乎函数是否正交的，那时候只有CWT，其计算是通过积分类似差分方程来计算小波系数的，小波的核心思路——伸缩和平移的基础理论就是这时提出的，这时多分辨分析的完整概念其实还没有完全提出来，但CWT其实也姑且可以认为是有多分辨分析性质的。

后来mallat和Daubechies觉得CWT能干的事太少，功能偏弱，于是绞尽脑汁提出了mallat算法，这就是后来使用mallat算法的DWT。这要分解细节和逼近就涉及了正交函数问题，但其实关于正交函数变换的问题已经研究了很长时间，在mallat算法之前有很多关于正交函数的变换研究，为mallat算法的研究提供了基础，它们才可为鼻祖，mallat只是觉得这些理论可以很好地与小波变换联系起来，于是最终提出了mallat算法。后来人们放宽了条件，发现即使是不正交的双正交小波也可以使用mallat算法，这也正是这个算法著名的地方。不正交或不双正交的小波只能用于CWT、二进小波变换或不使用mallat算法的DWT。

所以，目前通常的DWT指的都是使用mallat算法的DWT，也就是多分辨分析（提到多分辨分析这个特定概念名词通常必然是使用了mallat算法的），它可以使用正交小波来变换，也可以使用双正交小波来变换。

1 基本概念

小波分析的出发点之一是构造函数空间的各种基底，包括：框架、Riesz基与正规正交基等，进而得到空间的各种分解。如果是中的正交小波，则函数系构成中的一个正规正交基，称为小波基。因此，本文重要定义并讨论多分辨分析为构造正交小波提供了统一方法。

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