挡土墙后地震被动土压力的拟动力学分析

孔祥冰

（上海市政工程设计研究总院（集团）有限公司，上海市 200092）

0 引言

近几年，国内外地震频发。挡土墙作为一种经济的支护结构，在交通工程中应用普遍，所以挡土墙的抗震设计变得越来越重要。评价地震条件下土压力的变化作为挡土墙抗震设计的一项重要内容，有着很强的现实意义。对于地震条件下的挡土墙土压力，国内外很多学者都进行了大量的研究。Okabe[1]和Mononobe等[2]首先进行了开创性的工作，他们提出的拟静力学方法是在库伦理论的基础上发展而来，认为在地震作用下，整个破坏土楔作为刚体具有相同的加速度，并采用最大加速度值，将地震作用简化为一个惯性力系附加在滑动土体上，进而计算其土压力，这就是著名的Mononobe-Ok ab e理论。之后，Sherif等[3]，Richard 等[4]和Choudhury等[5]在Mononobe-Ok ab e理论的基础上有所改进，进而确定了地震条件下主动土压力的大小和分布。另外，Morrison 等[6]，Soubra[7]，Choudhury等[8]也都在拟静力学方法的基础上，研究了地震条件下挡土墙被动土压力的大小和分布。Kumar[9]则采用对数螺旋线与直线组成的复合滑动面，对地震被动土压力进行了研究。国内朱桐浩[10]，王贻荪等[11]分别推导了复杂条件下地震总土压力的一般解。刘忠玉等[12]，王立强等[13]以及杨剑等[14]分别利用水平层分析法，对地震土压力进行了研究。

上述学者均是采用拟静力学方法来分析挡土墙的地震土压力，没有考虑时间和相位的影响以及地震加速度的放大效应，不能很好地反映土的动力学性质；而且假定土体为刚性，则剪切模量和剪切波速为无穷大，这与实际情况不符。为了克服这些缺点，Steedman等[15]采用拟动力学方法，对无黏性土的主动土压力进行了研究。该方法假定地震加速度随着深度和时间呈正弦变化，并假定剪切模量在滑动面范围内为有限的定值。Choudh ury等[16]在拟动力学分析方法的基础上，考虑竖向加速度系数，对无黏性土的被动土压力进行了研究，但在他们的研究中，并没有考虑加速度放大系数对被动土压力分布的影响，也没有对被动土压力的合力作用点做相应的分析。

本文沿用拟动力学分析方法，考虑加速度的放大效应，得到了随时间和相位变化的地震被动土压力系数、土压力合力、土压力分布强度和合力作用点的理论公式，重点分析了加速度的放大系数以及地震卓越周期对于最不利工况下滑动面倾角、被动土压力系数和土压力分布的影响。

1 计算模型的建立

在拟动力学方法的基础上，本文采用如下基本假定：

（1）土的剪切模量G沿墙高不变。

（2）地震加速度随时间和深度的变化而变化，水平地震加速度主要与地震剪切波有关，而竖向地震加速度主要与地震纵波有关。

（3）滑动面内土体为均质各向同性的无黏性土，滑动面为平面。

挡土墙地震土压力计算模型如图1所示。

图1 挡土墙地震土压力计算模型

1.1 地震被动土压力系数

土体剪切波速Vs和纵波波速VP由下式得到：

式中： ρ为墙后填土密度；v为泊松比。

地震加速度为矢量，将其分为水平和竖向2个分量来考虑。当地震剪切波和纵波接近地面时，无黏性土中的振动会被放大。本文假定从挡土墙底部基础到地面，振动加速度的幅值呈线性放大，则存在：

式中：kh为水平加速度系数；kv为竖向加速度系数；fa为土体放大系数；H为挡土墙高度。

假定在地震时挡土墙下部土体振动形式为正弦式稳态振动，ω定义为挡土墙下部土体振动角频率，T为周期，ω=2π/T，则在深度z和时间t下的地震水平加速度和竖向加速度可表示为：

式中：g为重力加速度。

土楔重力W为：

式中：θ为滑动面倾角；γ 为土体重度，γ=ρg。

在深度z处取一薄层单元，厚度为dz，其质量为：

则作用在滑动土体内部的水平地震惯性力Qh（t）可以通过下式积分得到：

将式（5）和式（8）代入式（9），积分得到：

式中：λ=TVs，为水平传播的剪切波波长；ζ=t-H/Vs。

同理，可以得到竖向地震惯性力Qv（t）的表达式：

式中：η=TVp，为垂直传播的纵波波长；ψ=t-H/Vp。

若假定土体为刚性，即G→∞，且不考虑加速度的放大作用，即fa=1，则剪切波速和纵波波速均趋于无穷大，此时存在：

这与著名的Mononobe-Okabe方法中假定的作用于滑动土体的惯性力相同。可以看出，拟静力学方法是拟动力学方法的特例。

如图1中所示，考虑滑动面内三角形土体水平方向力的平衡，可得到：

式中：δ为墙面摩擦角；φ为填土内摩擦角；Ppe为挡土墙反力；F为不动土体作用在滑动面处的反力。

考虑竖直方向力的平衡，得到：

联合求解式（14）和式（15），解得：

地震被动土压力系数可定义为：

将式（7）、式（10）、式（11）和式（16）代入式（17），可得地震条件下无黏性土的被动土压力系数公式：

其中：

从式（18）中可以看出，地震被动土压力系数Kpe是无量纲参数H/λ，H/η，t/T和滑动面倾角 θ的函数。对于实际工程，一般H、Vs、Vp可以通过实际测量而得到，而周期可以取地震信号中的卓越周期。则Kpe实际上是θ和无量纲参数t/T的函数。对应地震的某一时刻t和某一个卓越周期T，均存在一个滑动面倾角值和一个被动土压力系数，其中被动土压力系数的最小值即为地震时对应该卓越周期T的最不利工况下无黏性土的被动土压力系数，对应的θ值即为最危险滑动面的倾角。被动土压力系数的最小值可以通过对θ和无量纲参数t/T的优化求解而得到。

1.2 地震被动土压力分布

总的地震被动土压力可以定义为：

式中：Pps为静力状态下由于土体重力引起的作用在墙身的压力；Pphd是因水平地震惯性力的存在而减少的动土压力；Ppvd是因竖向地震惯性力的存在而减少的动土压力。

所以，地震状态下，无黏性土的被动土压力可以看做是由于土体自重引起的侧土压力，在克服水平和竖向地震惯性力后得到的。

将式（18）代入式（17），并将H全部替换为z，则可以通过对式（17）中的总土压力求导而得到地震被动土压力分布强度，如式（20）所示：

式（20）即为地震条件下无黏性土被动土压力分布公式。

地震被动土压力的合力作用点可以通过下式得到：

式（21）可以通过数值解法求解。

2 结果与分析

运用上述计算方法，对于地震状态下挡土墙后黏性土的最危险滑动面倾角、动土压力系数、动土压力分布、合力作用点进行求解，同时分析内摩擦角、墙土摩擦角、水平及竖向地震加速度系数、土体放大系数和墙面倾角等对以上各求解量的影响。为便于分析，以下算例所选取的部分计算参数均为 γ=18 kN/m3，H=10m，H/λ=0.3，H/η=0.16。

2.1 最危险滑动面倾角

处于被动极限状态时，最危险滑动面对应的被动土压力合力是最小的。利用式（18），要得到地震被动土压力系数Kpe，需要对时间比值t/T和滑动面倾角θ进行优化求解，则可得到对应某一个卓越周期T的最危险滑动面倾角值。

图2 为对应不同的放大系数fa时最危险滑动面倾角随内摩擦角的变化规律。其中，所选取的计算参数为H/λ=0.3，H/η=0.16，kh=0.3，kv=0.15，δ=φ/2。从图2中可看出，随着φ值的增大，最危险滑动面倾角θ先增后减，大致在φ取25°～30°时取得最大值。当φ值一定时，随着放大系数fa的增大，θ值逐渐减小，并且φ值越大，fa对最危险滑动面倾角的影响越小，当φ=45°时，θ值基本不随fa变化。

图3 为对应不同的卓越周期T时最危险滑动面倾角随水平地震加速度系数的变化规律。其中，选取的计算参数为kv=kh/2，φ=30°，δ=φ/2，H=10m，Vs=109m/s，Vp=200m/s，fa=1.3。由图 3 中可看出，随着水平地震加速度系数的增大，最危险滑动面倾角呈减小的趋势，并且kh越大，减小越明显。当kh为定值时，θ值随着卓越周期T的增大而减小，并且T越大，减小幅度越小。

图2 最危险滑动面倾角随φ值变化

图3 最危险滑动面倾角随 k h值变化

2.2 被动土压力系数

利用式（18），对于不同的t/T和滑动面倾角θ，分别有相应的Kpe值，选取其中最小值，即为对应卓越周期T时最不利工况下的地震被动土压力系数。

图4 地震被动土压力系数随φ值变化

图4 为对应不同的放大系数fa时地震被动土压力系数随内摩擦角的变化规律。选取的计算参数为H/λ=0.3，H/η=0.16，kh=0.3，kv=0.15，δ=φ/2。由图4中可看出，随着φ值的增大，Kpe逐渐增大，并且φ值越大，Kpe增大的趋势越大。相反，随着fa的增大，Kpe的增速有减小的趋势，但是并不明显；由此可看出，放大系数对地震被动土压力系数的影响较小。

图5 为对应不同的卓越周期T时地震被动土压力系数随水平地震加速度系数的变化规律。其中，选取的计算参数为kv=kh/2，φ=30°，δ=φ/2，H=10m，Vs=109m/s，Vp=200m/s，fa=1.3。由图 5 中可看出，随着kh的增大，kpe逐渐减小，并且kh越大，其减小趋势越大。另外，当kh为定值时，Kpe随着T的增大而减小，并且kh越大，其减小幅度越大。

图5 地震被动土压力系数随k h值变化

2.3 被动土压力分布

根据式（20），可以得到任意时刻的地震土压力分布，对应最危险滑动面的即为被动土压力分布。

图6 为取不同的放大系数fa时地震被动土压力的分布情况。选取的计算参数为H/λ=0.3，H/η=0.16，kh=0.3，kv=0.15，δ=φ/2。其中，墙高和被动土压力均被无量纲化。由图6中可看出，土压力呈非线性分布。随着放大系数fa的增大，土压力分布呈减小的趋势，并且深度越大，减小的趋势越明显。

图6 地震被动土压力分布随f a值变化

图7 为取不同的卓越周期T时地震被动土压力的分布情况。选取的计算参数为kv=kh/2，φ=30°，δ=φ/2，H=10 m，Vs=109 m/s，Vp=200 m/s，fa=1.3。其中，墙高和被动土压力均被无量纲化。从图7中可以发现，T=0.2 s时，土压力呈明显的“S”型分布，之后随着T的增大，土压力分布逐渐减小，并且T越大，减小的趋势越小；曲线形状也逐渐趋于平缓。可以看出，卓越周期T对土压力分布的影响较小。

图7 地震被动土压力分布随T值变化

2.4 与拟静力学方法计算结果对比

用拟动力学方法分析地震被动土压力的研究还很少。本文用拟动力学方法计算被动土压力系数值，并与 D a v i e s等（1986）基于 Mononobe-Ok ab e理论，运用拟静力学方法计算出的被动土压力系数值进行对比，结果见图8。选取的计算参数为kv=kh/2，δ=φ/2，H=10 m，Vs=109 m/s，Vp=200 m/s，fa=1.0。从图8中可以看出，运用拟动力学方法得出的最小地震被动土压力系数值更安全。

图8 地震被动土压力系数随T值变化

3 结语

（1）本文考虑地震加速度的放大效应，运用拟动力学的方法，得到随时间和深度变化的地震加速度，进而推导了地震被动土压力系数、土压力分布强度和土压力合力作用点的理论公式，得知拟静力学方法是拟动力学方法的特例。

（2）fa增大，θ值减小，并且φ值越大，fa对θ的影响越小；θ值随着卓越周期T的增大而减小，并且T越大，其减小幅度越小。fa增大，Kpe的增速有减小的趋势，但是并不明显；Kpe随着T的增大而减小，并且kh越大，减小幅度越大。随着fa和T的增大，被动土压力分布均呈减小的趋势；其中，T对土压力分布的影响较小。

（3）地震加速度减少了作用在墙体的被动土压力，其放大效应又进一步减小了土压力值，所以不考虑加速度的放大效应是偏于不安全的。

（4）与拟静力学方法的对比表明，拟动力学方法得出了更安全的最小地震被动土压力系数值。