探讨函数零点在导数不等式中的应用
——“隐零点(虚拟零点)”与“小不等式”的巅峰对决

四川

函数零点是沟通函数、方程、不等式的重要载体，其充分体现了数学核心素养，体现了函数与方程、数形结合、转化与化归思想在中学数学中的应用，从近几年高考试题来看，函数零点问题备受青睐，特别是在研究函数与导数零点存在，但又不能求出零点的具体值时，常根据二分法思想找出零点的大致范围，再借助零点范围及其等量关系，解决不等关系或参数范围问题，从而由考查函数零点的知识性逐步向工具性转变，这也体现新课标精神由知识立意向能力立意转变，本文与大家一起探讨函数“隐零点(虚拟零点)”为载体艺术与“小不等式”过渡转化在导数不等式中的应用.

类型一:以“隐零点(虚拟零点)”为载体过渡对决“小不等式”证明不等关系

例1.已知函数f(x)=ex-ln(x+m).

(Ⅰ)设x=0是f(x)的极值点，求函数f(x)在[1,2]上的最值.

(Ⅱ)当m≤2时，证明f(x)>0.

试题分析：问题(Ⅰ)根据函数极值点处导数的函数值为零建立等量关系，求出参数的值；再判断f(x)在[1,2]上的单调性，从而求出f(x)的最值.

问题(Ⅱ)当m≤2时，要证f(x)>0.即证ex-ln(x+m)>0，

思路1：因ln(x+m)≤ln(x+2)，放缩即证当m=2时f(x)>0即可；

思路2：直接证明，二次求导，利用讨论的思想证明其最小值大于零；

思路3：利用小不等式ex≥x+1放缩证明.

试题解析：(Ⅰ)最大值e2-ln3，最小值e-ln2.

设g(x)=(x+m)ex-1，而g′(x)=(x+m+1)ex>0，所以g(x)在(-m,+∞)上单调递增，当x→-m时，g(x)→-1，当x→+∞时，g(x)→+∞，必存在一个数x0，使得g(x0)=0，则当x∈(-m,x0)时，g(x)<0，f′(x)<0，f(x)单调递减；

当x∈(x0,+∞)时，g(x)>0，f′(x)>0，f(x)单调递增；故f(x)min=f(x0)，

综上，当m≤2时，f(x)>0.

解法3：对x∈R时，设k(x)=ex-x-1，则k′(x)=ex-1，令k′(x)=0得x=0.

当x∈(-∞,0)时，k′(x)<0，k(x)单调递减；

当x∈(0,+∞)时，k′(x)>0，k(x)单调递增.

故k(x)min=k(0)=0，即k(x)=ex-x-1≥0得ex≥x+1(当且仅当x=0时取等号).

当m≤2时，要证f(x)>0,即证x+1>ln(x+m).

当x∈(1-m,+∞)时，h′(x)>0，h(x)单调递增.

故h(x)min=h(1-m)=2-m≥0.因为前后不等式不能同时取到等号，

所以当m≤2时，f(x)>0.

评析：此题第(Ⅱ)问解法1充……