调和点列的一个性质在线段中点问题中的应用

江西省赣南师范大学数学与计算机科学学院(341000)曾建国

对于调和点列(调和线束)在平面几何问题中的应用,读者也许并不陌生,这方面的文章散见于初等数学类期刊,如[1-4].本文拟讨论的线段中点问题就是调和点列(调和线束)如下性质的应用：

性质1[3]如图1,如果PA、PB、PC、PD 为调和线束,且PD平行于AB,则PC 必平分线段AB.

图1

应用此性质解题的困难之处在于,图形中的调和点列或者平行关系往往比较隐蔽、不易发现.本文通过实例说明如何突破难点、发现图形中隐藏的位置关系,应用性质1 解题,从而揭示问题的本质.

1.发现隐藏的调和点列

调和点列(调和线束)常见于下面两种图形中：①完全四边形； ②二次曲线.

例1(《数学通报》2066 号问题1[5])如图2,点E,F 分别是△ABC 的边AC,AB 上的点,BE,CF 交于点D,AD,EF 交于点G,过点D 作BC 的平行线交AB,BG,CG,AG 于点H,K,N和M,试证：

图2

分析与证明注意到图2中有完全四边形AEDF,延长AD 交BC 于I,根据完全四边形的调和性可知：A,D,G,I是调和点列,则BA,BD,BG,BI 是调和线束,又BC//HM,根据性质1 可知,K 是HD 的中点；同理可证,N 是DM 的中点.于是有证毕.

例2(《数学通报》2450 号问题1[6])如图3,AB,AC 分别切⊙O 于B,C,过A 作割线交⊙O 于D,E,过D 作AB 的平行线分别交BC,BE 于F,G,求证：F 是DG 的中点.

图3

分析与证明易知BC 是点A 关于⊙O 的极线,设AE 交BC 于H 点,则A,H,D,E 是调和点列,由交比的性质[9]知H,A,E,D也是调和点列.连EF 交AB 于点M,则FH,FA,FE,FD是调和线束,而FD//AB,根据性质1 知,M 是AB 的中点,又因为DG//AB,所以F 是DG 的中点.证毕.

在例1 及例2 中,如果问题同时出现平行关系及线段的中点,就应想到可能用得上性质1.不过图2和图3中的调和点列分别隐藏在完全四边形和二次曲线中,我们只需仔细观察其实也不难发现,而下面这个例题中的调和点列则更加隐蔽一些.

例3(第26 届莫斯科数学竞赛[7])如图4,从⊙O 直径二端A,B 分别作切线l1,l2,过l1上点C 作二直线分别交⊙O 于M,M′及N,N′,过A及M,M′,N,N′分别作直线交l2于E,E′,D,D′,求证：DE =D′E′.

图4

分析与证明过点C 作⊙O 的另一切线,切点为P,连AP 交CM 于F 交l2于Q,则AP 是点C 关于⊙O 的极线,因此C,F,M,M′是调和点列,AM′,AM,AF,AC 是调和线束,又l1//l2,根据性质1 知,Q 是EE′的中点.同理可证,Q 也是DD′的中点.因此DE =D′E′.证毕.

上面应用调和点列性质的证法简洁明了,是其他解法(包括[7]中解析法)无法比拟的.

2.发现隐藏的平行关系

例4(《数学通报》2098 号问题1[8])如图5,⊙O 是△ABC 的内切圆,D,E,M 是切点,连MO 并延长交DE 及⊙O 分别于点K,F,连AF,AK 并延长交BC 于点N,L,求证：L 是MN 的中点.

图5

分析与证明此题中的调和点列及平行关系都不易发现.图5中,易知A 点关于⊙O 的极线是DE.另一方面,根据极线的作图方法[9]可知,A 点的极线可以按如下方法作出：连结AM 交⊙O 于G,设GF,MH 交于点S,GH,MF 交于点K′,SK′就是A 点关于⊙O 的极线.表明SK′与DE 是同一直线,K′就是K.

事实上,图5中的△ASK 称为⊙O 的自极三角形[9]或自共轭三角形[10](三角形的每边都是所对顶点的极线).至此,与本题相关的调和点列及调和线束找到了：因AK 是S点关于⊙O 的极线,设AK 交HM 于T,则S,T,H,M 是调和点列,即AS,AT,AH,AM 是调和线束.对照性质1 发现,欲证L 是MN 的中点,只需证SA//BC.根据已知结论“圆的自共轭三角形的高过圆心”[10](事实上,易证AO⊥SK 及SO⊥AK,于是圆心O 是△ASK 的垂心)即知,FM⊥SA,表明SA//BC.证毕.

以上各例应用调和点列的性质1 解题,一方面大大简化了解题过程,另一方面,有助于我们看清问题的本质,从而也可以进行类比推广.例如,例2-例4 关于圆的结论均可以推广至其他有心二次曲线中,有兴趣的读者不妨作进一步研究.