精准概括 重点突破
——高考数学第21题“导数及函数的应用”的专题复习建议

一、考试及教学现状

笔者在改高考卷过程中发现，考生对第21题“导数及函数的应用”的解答非常糟糕，答题思维混乱、计算能力差、不会转化等，导致得分率极低。笔者试图回到我们的高三复习课堂去寻找原因和解决方案，发现高三教师二轮专题复习课存在着较大的问题，主要表现为：1.教师的自信心不足，有畏难情绪；2.对本题的研究不深入，概括不到位，对重点环节找不到有效的解决办法；3.处理武断，有不少教师传递给学生这样一种观念，这是数学考试中最难的题目了，提倡学生只要做好第Ⅰ问便算了；4.教师(或备课组)未能找到本题的出题规律和解题方法等。针对如何改变这种现状，提高学生本题的得分率，笔者拟提出一些个人的研究和建议。

二、加深对“函数的性质”及“导数的应用”的深刻理解

在函数概念中，核心是“对应法则”，即x与y如何对应，而反映x与y具体对应关系的就是函数的性质，一般地，中学数学里，描述函数的性质的多数呈两种形式：文字语言；函数的图像(最具体)。而在函数的诸多性质中，最基本、最能描述函数大致对应关系的就是“单调性”。而对函数的单调性的研究，教材在“定义法”的基础上，引进导数，利用导数来解决函数的单调性，即用 f′(x)的正负就可得出函数的单调性、极值等。

三、本专题课堂复习建议

根据深入研究，笔者认为在本专题复习中应当做好如下几个环节。

1.在知识结构的复习中要注重厘清单调性、极值、零点这三个性质的逻辑递进关系

这是我们教师复习过程中最普遍缺失的一个环节，导致我们不能很好地理解高考第21题考查中的稳定的一些东西，也是我们教师不能精准概括高考导数大题特征的原因。在高考试题的设计中，常把单调性、极值、零点这三个性质看成是导数应用于解决函数性质的三个环节，它们之间存在着过程递进关系，高考试题中想考到哪个环节是可以灵活选择和调整的，但都必须首先解决单调性，这是试题的变化和不变的原理所在。下面，笔者用图示的形式，显示这三个性质的逻辑递进关系。

2.重视图形在基础知识复习中的作用，创建二层图，有利于打通解题思路

四、提出重点解决的环节和提供有效的解决方法

1.求导后，首先重视导函数类型的分析、导函数的零点的讨论，这也是分类讨论的起点。纵观2013年至2017年的新课标的导数大题，大致有两种类型：

类型一：可因式分解或用求根公式求零点的，如

【2017国2文21】：原函数：f(x)=(1-x2)ex.→导函数： f′(x)=(1-2xx2)ex.

这种类型中，只要令 f'(x)=0，就可求出导函数的零点，从而进一步探求 f'(x)的正负值区间。

类型二：不可即刻求根或还含有超越函数形式的，如

【2015国2理21】：原函数：f(x)=emx+x2-mx.→导函数：f'(x)=m(emx-1)+2x.

f'(x)=0这种类型中，令 ，是无法用常规方法求出导函数零点，此时，可利用二阶求导解决。

2.极值的计算方法，这类题型大概分为两类：具体值零点和带参数不固定零点。

3.找一个大于0(或小于0)函数值，以判断根的个数。

为此，如果我们想在二轮复习中让学生对“函数与导数的应用”题目有较好的把握，必须对第1问和第2问做好整体层面的精确概括，让学生能把握解决这类题目的一般过程与方法，还要注意在解题过程中可能碰到的难点环节找到相应的解决办法，这样学生就会目标明确，方法得当。至少能在考试中取得相应的分数，提高得分率。