局部化的Mp嵌入子群

刘莉萍, 缪 龙*, 汤菊萍

(1. 扬州大学数学科学学院, 江苏 扬州 225002; 2. 无锡职业技术学院, 江苏 无锡 214121)

利用子群的嵌入性质研究群的结构是群论工作中热点课题之一, 并取得了丰富的研究成果．Asaad等[1]利用子群的S-拟正规嵌入性对群的p-幂零性、超可解性进行了研究, 得到了一些充要条件; Li等[2]引入弱s-置换嵌入子群的概念; Guo等[3]提出Σ-嵌入子群的概念, 并利用Σ-嵌入子群的性质得到了关于可解群与p-幂零群的一些新结果; 根据Mp-可补子群的概念, 邱婷婷[4]给出了Mp-嵌入子群的概念．作为以上工作的延伸, 本文拟利用子群的Mp-嵌入性质, 同时结合H-子群的几乎m-嵌入性质, 揭示子群嵌入性质与群的p-幂零与超可解之间的联系．

1 预备知识

定义1[3]若存在T≤G和{1≤G}-嵌入子群C, 使得G=AT且T∩A≤C≤A, 则称子群A在群G中是几乎m-嵌入的．

定义2[6]设P是G的Sylowp-子群, 称G的子群H是H-子群. 如果H满足P′≤H≤Φ(P), 则用H(P)表示H构成的集合．

引理1[5]设N是群G的非平凡可解正规子群, 若N∩Φ(G)=1, 则F(N)是G的包含于N的极小正规子群的直积．

引理2设G是群,p是|G|的素因子,P∈Sylp(G), 若H∈H(P)且H在G中是几乎m-嵌入的, 则H在G中是{1≤G}-嵌入的．

证明 因为H在G中是几乎m-嵌入的, 由其定义可知存在T≤G及C≤G, 使得G=HT且H∩T≤C≤H, 其中C在G中是{1≤G}-嵌入的．由P=P∩HT=H(P∩T)=P∩T, 得P≤T, 于是G=T, 进而有C=H, 所以H在G中是{1≤G}-嵌入的．

引理5[4]设P是群G的一个Sylowp-子群, 其中p是|G|的极小素因子．如果P在G中Mp-嵌入, 则G是p-幂零的．

2 主要结果

定理1设G是群,p是|G|的极小素因子,P是G的Sylowp-子群, 若P的每一个极大子群在NG(P)中是Mp-嵌入的, 且存在H∈H(P)在G中是几乎m-嵌入的, 那么G是p-幂零的．

证明 假设结论不真且设G是极小阶反例．根据假设知P∈Sylp(G)且P的每一个极大子群在NG(P)中是Mp-嵌入的, 由文献[4]中定理3.3.1知NG(P)是p-幂零的．

若H=1, 则由P′≤H知P′=1,即P是交换p-群．由于∀q≠p,Q∈Sylq(NG(P)), 有PQ≤NG(P), 且NG(P)是p-幂零的, 所以PQ是p-幂零的, 且PQ=P×Q, 故Q≤CG(P)．又因P是交换群, 故P≤CG(P), 于是NG(P)=CG(P)．由Burnside定理知G是p-幂零的, 这与G是极小阶反例矛盾, 故H≠1．由引理2知H在G中是{1≤G}-嵌入的, 根据文献[3]中引理2.5可得H在G中次正规, 再由文献[8]中引理2.7知H≤Op(G), 进而Op(G)≠1．

定理2设G是群,p是|G|的极小素因子,P是G的Sylowp-子群, 若P在NG(P)中是Mp-嵌入的, 且存在H∈H(P)在G中是几乎m-嵌入的, 则G是p-幂零的．

定理3设G是p-可解群,p是|G|的素因子,P是G的Sylowp-子群, 若P的每一个极大子群在NG(P)中是Mp-嵌入的, 且存在H∈H(P)在G中是几乎m-嵌入的, 则G是p-超可解的．

证明 假设结论不真且设G为极小阶反例．

定理4设G是p-可解群,p是|G|的素因子,P是G的Sylowp-子群, 若P在NG(P)中是Mp-嵌入的, 且存在H∈H(P)在G中是几乎m-嵌入的,那么G是p-超可解的．

证明 类似定理3的证明过程．

定理5设G为一个群．若对|G|的任意素因子p都有G的一个Sylowp-子群P, 使得P的每一个极大子群在NG(P)中Mp-嵌入, 且存在H∈H(P)在G中是几乎m-嵌入的, 那么G是超可解的．