凸函数在数量经济学中的应用

张志明

摘要：凸函数存在不少优秀的特性，比如针对其非常核心的特性来举例：整个凸集里，它的每一个部位都是最小的，在全局的比较下也是最小的。它可以被有效地使用于数学的各个范畴中，目前它已经是数学规划、对策论等多个研究范围内的理论基础以及重要的使用用具。本文主要是利用凸函数的性质來解决关于利润、成本、最佳库存等经济问题，用数学符号来代替现实中用语言来形容的问题，最终求的一个最佳的方案来获取最大的经济效益。

关键词：凸函数 效用函数 最优化 数量经济学

自从21世纪伊始凸函数理论得以成立之后，它作为核心的理论，在各种数学研究中都被有效地运用。在目前普遍适用的高等数学的教科书里，全部有着凸函数的相关概念解释。然而因为不同书籍的不同作用，对它的解释也有着各种差别。当前，由于数学被普遍运用于经济学范畴内，而使得数学从冷门学科一跃成为炙手可热的学科。其中，数量经济学主要通过对数学学科知识的运用来寻求答案，但是数理经济学研究中相关的一些函数普遍具备凸性，这就决定了凸函数在其中的普遍运用，它能够对企业探讨财务资源的有效配备提供助益，从而帮助企业的利益达到最大。

三、函数凸性在数量经济学中的应用

在市场经济运行之时，生产商的主要要求就是，如何利用尽可能少的物资和成本，取得尽可能大的市场效益和利润。他们会通过预估行为，构造一个效益、成本、价格三者相关的函数公式，之后再通过求取凸函数的极限值，来达到效益最优化、支出最小化的目的。通过对二次倒数求导，来判定函数的凹凸性，确定了函数的凹凸性之后，我们就可以根据凹凸函数的性质，进而计算出最大值和最小值。这是我们利用函数凹凸性的进行经济决策的基础。在实际的生活中，我们对于利用函数的凹凸性，尤其是凸函数进行经济评估时，不是简单的通过计算就可以得到最大值的。我们更需要的是首先对经济问题进行分析，从而在这个过程中提炼出来一种经济学模型来。然后才是对模型进行函数上的数学计算和分析。

（一）利润最大问题

在任何的经济活动中，利润是不可缺少的部分，如何寻找一种利润最大化的方案是我们所要解决的。其中成本函数与生产函数之间也有一种函数关系。当这种函数为凸函数时，对其利润最大值的计算就可以利用凸函数的性质去求解。

对于如何寻求效益的最大化，首先需要寻找与效益相联系的生产要素的函数关系，先通过一阶导数寻找其稳定点，然后继续求其二阶导数，通过这个导数辨别利润函数是不是凹函数，通过辨别如果是凹函数的话，那么就可以从中选取出最大的数值，也就是最大化的效益。这样一来，复杂的经济现象就变成了数学理论中经常被使用到的函数，把寻求经济效益的最大化转换成一般的凸函数求极值的问题，这是对数学知识的更好的应用，也是数学对经济问题的有效解决。