我出高考数学题(二十五)

陈国林 胡迷革 袁琳

1.已知cos（ -α）-sin α= ，则cos（α- ）的值为

A.-              B.              C.-           D.

解 由cos（ -α）-sin α= cos α + sin α-sin α=- sin α+ cos α=-sin（α- ）= ，可得sin（α- ）=- .所以cos（α- ）=cos（α- - ）=sin（α- ）=- .选C.

2.已知f（x）是定义在（- ， ）上的奇函数，f ′（x）是f（x）的导函数.若对任意的x∈（0， ），有f ′（x）sin xcos x+ f（x）>0，则当0

A.（- ， ）                       B.（- ，- ）∪（ ， ）

C.（- ，0）∪（0， ）  D.（- ，- ）∪（ ， ）

解 根据已知可令g（x）= f（x）tan x，则g′（x）= .由于对任意的x∈（0， ），有f ′（x）sin xcos x+ f（x）>0，所以当x∈（0， ）时，g′（x）>0，则函数g（x）在（0， ）上单调递增.又f（x）在（- ， ）上为奇函数，所以g（-x）= f（-x）tan（-x）= f（x）tan x=g（x），则g（x）在（- ， ）上为偶函数.由于0

3.已知函数f（x）=（x-1）ex+1+ax2，a∈R.

（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性.

（Ⅱ）若函数f（x）有两个零点x1，x2，且x1 f（-x2）.

（Ⅰ）解：函数f（x）的定义域为R， f ′（x）=xex+1+2ax=x（ex+1+2a）.

若a≥0，则ex+1+2a>0.于是有当x∈（-∞，0）时， f ′（x）<0恒成立;当x∈（0，+∞）时，f ′（x）>0恒成立.所以f（x）在（-∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增.

若a<0，令x（ex+1+2a）=0，可得xm=0，xn=-1+ln（-2a）.

若- xn.当x∈（-∞，xn）∪（xm，+∞）时， f ′（x）>0恒成立;当x∈（xn，xm）时，f ′（x）<0恒成立.所以f（x）在（-∞，xn）和（xm，+∞）上單调递增，在（xn，xm）上单调递减.

若a=- ，则xm =xn.当x∈R时， f ′（x）≥0恒成立，所以f（x）在R上是增函数.

若a<- ，则xm 0恒成立;当x∈（xm，xn）时，f ′（x）<0恒成立.所以f（x）在（-∞，xm）和（xn，+∞）上单调递增，在（xm，xn）上单调递减.

综上可知，当a≥0时，f（x）在（-∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增;当-

（Ⅱ）证明：当a≤0时，由（Ⅰ）可知，若x≤0，则f（x）≤{f（0），f [-1+ln（-2a）]}max.由于f（0）=-e<0，当a<- 时f（0）> f [-1+ln（-2a）]，当- 0.

当a>0时，f（x）在（-∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，从而x1<00，所以F′（x）>0对任意的x∈（0，+∞）恒成立，从而F（x）在（0，+∞）上递增，则F（x）>F（0）=0，即f（x）> f（-x）.由于x1<0 f（-x2），即 f（x1）> f（-x2）.

（陈国林，中国优选法统筹法与经济数学研究会会员，“课堂内外杯”青少年科学素养大赛命题专家库成员，中学数学建模竞赛命题人，获得国家级、省级奖励10余项）

4.直线AB经过抛物线y2=4x的焦点F，且与抛物线交于A，B两点，若|BF|=2|AF|，则|AF|=______.

解 设l为抛物线的准线，其与x轴交于点K.作AA′⊥l，交l于点A′;作BB′⊥l，交l于点B′，如右图所示.于是有|AA′|=|AF|， |BB′|=|FB|，AA′∥BB′∥FK.在△CBB′中，由 = = ， |BC|=|AC|+|AA′|+|BB′|，可得|AC|=3|AF|.于是在△CFK中，由 = = ，可得|AF|=|AA′|= |FK|= .

5.已知F（c，0）是双曲线C： - =1（a>0，b>0）的右焦点，圆（x-c）2+y2=4b2与双曲线C的一条渐近线相交于A，B两点，若|AB|=2a，则双曲线C的离心率为

A.          B.        C.          D.2

解 设AB的中点为M，连接MF，则MF⊥AB.由已知可得|AM|=a，|MF|=b，|AF|=2b.由勾股定理得4b2=a2+b2，则 = ，所以e= = .选C.

6.已知椭圆C的两焦点分别为F1（-1，0），F2 （1，0），且经过点（1， ）.

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程.

（Ⅱ）设直线l：x=my+1与椭圆C相交于A，B两点，点B在直线n：x=2上的射影为点D，当m变化时，直线AD是否过定点？写出判断依据.

解 （Ⅰ）椭圆C的标准方程为 +y2=1.（解答过程省略）

（Ⅱ）设点A……