空频复用光纤中四波混频过程的解析分析方法*

万峰 武保剑 曹亚敏 王瑜浩 文峰 邱昆

(电子科技大学信息与通信工程学院,光纤传感与通信教育部重点实验室,成都 611731)

1 引 言

近年来,波分复用 (wave division multiplexing,WDM)通信系统传输容量已逐渐逼近非线性香农极限[1,2].为满足通信容量不断提高的需求,空分复用 (space division multiplexing,SDM)应运而生,已成为备受关注的技术之一[3−7].SDM主要应用形式是与当前的WDM系统相结合,构成空频复用传输系统,使通信容量得到大幅提升.因此,以少模光纤等为代表的模分复用(mode division multiplexing,MDM)技术成为光通信领域中研究的热点[8,9].利用光纤中各导波模式之间的正交性,可构建MDM传输系统[10].

在 WDM 系统中,四波混频 (four wave mixing,FWM)等光纤非线性效应会严重影响通信传输的性能,相关理论不断完善[11].近年来,MDM 系统的非线性效应也开始受到关注.2013年,Mumtaz等[12]建立了少模或多芯光纤中的非线性传输模型,并通过该模型研究了114 Gb/s信号在少模光纤中传输 1000 km 的通信性能.同年,Mumtaz 等[13]和Essiambre等[14]通过实验验证了少模光纤中模间FWM效应,证明在大频率间隔(THz)和较大模式色散条件下也能满足相位匹配条件.文献[15]提出了MDM系统中高斯噪声非线性理论模型,将信道间非线性作用近似为高斯噪声处理,研究非线性对空频复用光纤传输系统的影响.2017年,Trichili等[16]给出了小信号条件下空频耦合模方程的近似解,分析了少模相敏参量放大过程,该理论不适用于抽运消耗的情形.

时域光纤非线性演化方程的一般处理方法是采用分步傅里叶方法数值求解,而在准连续波情形下也可以得到解析解[17].解析解能更好地反映非线性过程的参数依赖关系,最近我们给出了单模高非线性光纤中简并和非简并FWM闲频光幅度和相位的统一解析表达式,证明了非相敏放大(phase insensitive amplify,PIA)模式下闲频光相位与输入光初始相位之间的关系,揭示了FWM相位加减混合运算器的工作原理[18].MDM光纤系统的非线性比单模情形复杂,自相位调制、交叉相位调制、四波混频等非线性项的系数均与模场交叠因子相关,目前的理论研究主要集中在数值模拟或基于特定场景的半解析模型上,精确的解析分析方法还未有报道[12,19−22].

本文详细推导了空频域FWM耦合模方程的精确解析解,并采用数值方法验证了解析结果的正确性.所得解析解适用于具有抽运消耗的情形,可用于分析WDM,MDM以及它们的联合复用系统中光纤非线性效应对光场幅度和相位的影响.最后,讨论了解析分析方法在多波耦合方程简化、大规模并行相位运算器设计以及快速非线性补偿等方面的应用.

2 理 论

2.1 空频域FWM耦合模方程

利用少模光纤并采用WDM技术,可实现光场的空频复用传输.在单模光纤中,FWM过程发生在具有不同频率的相同模式之间; 在模式复用系统中,具有相同或不同频率的模式之间也会发生FWM.因此,空频复用系统中的非线性耦合方程会更加复杂.为了使推导过程更加清晰,本文考虑准连续线偏振导波光的非简并FWM过程.空频域复用系统中导波光的光场复振幅Al(l=1—4)满足如下FWM耦合方程组:

式中c为真空中光速,z表示少模光纤的长度;ωl(l=1—4)为各导波光的角频率,导波光之间满足能量守恒关系,即ω4+ω3− ω2− ω1=0 ; 相位失配因子 ∆β=β4+β3− β2− β1,其中βl(l=1—4)为各导波光的传播常数.归一化横向模场分布Fl,m,n,p(x,y)的交叠积分为

式中n2(x,y) 为光纤的非线性折射率参量,F为归一化模场分布函数.当所有涉及的模场交叠积分均相同,且光频率间隔较小时,非线性系数可以统一表示为γNL≈n2k0/Aeff,此时(2)式可化为单模光纤情形[23],其中k0为真空中导波光波数,

式 中θ=∆βz+φ3(z)+φ4(z)− φ1(z)−φ2(z),且满足关系

式中参数O1,O2,O3,O4与四个光波的功率、频率分布以及模场归一化交叠积分有关,即.

显然,(5)式中的参数包括了多模光纤中不同频率和模式的光场作用,体现了多模光纤中导波光的空域和频域耦合特性.与单模光纤情形相比,多模光纤中四波混频耦合模方程的非线性系数发生了改变,各项的非线性系数之间不再保持固定的大小关系,而是取决于耦合光场的模场分布.(4)式也与单模情形的表达式不同,不能直接利用单模光纤的推导过程进行解析求解,因此这种非线性系数的变化增加了推导解析解的难度.

下面,本文通过变量代换方法,将模式和频率的依赖性包含到相关参量中,推导多模光纤中FWM功率和相位的解析表达式.令Pi=ωiQi(i=1—4)和则 (3)式—(5)式可重新表示为

式中空频域耦合参量o1,o2,o3,o4表示为

由(6)式可知,各导波光之间存在如下关系:

其中Qi0=Pi0/ωi(i=1,2,3,4) ,与导波光的初始功率有关,q(z) 表示 FWM 的转移能量.q(z) 的物理意义可由(9)式加以分析,即q(z)=∆Qi= ∆Pi/ωi=∆PiTi/(ωiTi)= ∆Ei/(2π),其中Ti为光波相位周期,Ei=PiTi为一个周期的能量.由(6)式—(9)式可知,q(z) 满足如下方程:

下面根据(10)式和(11)式求出转移能量参数θ随光纤长度z的变化关系,进而给出功率和相位的解析表达式.

2.2 功率的解析解表示

由 (11)式可知,f(θ) 是关于转移能量参数θ的四次多项式,在初始条件确定的情况下,可以表示为的形式,其中η1<η2<η3<η4是满足f(θ)=0 的、依次按照从小到大的顺序排列的四个根,表示f(θ)最高次项的系数.于是(10)式可以进一步表示为

式中ξ=sign(sinθ0),依赖于输入光波的初始相位关系.

我们的目的是得到输出功率的解析表示,即转移能量参数θ(z) 随长度z演化的表达式.当初始条件给定时,(14)式能够表示为第一类椭圆积分.根据第一类椭圆积分与雅可比椭圆函数 s n(µ,k) 之间的互逆运算关系,FWM转移能量参数θ(z) 的解析表达式为[17]

其中F为第一类椭圆积分.根据(9)式和(15)式,多模光纤中导波光的功率演化规律可解析地表示为

(15)式—(17)式描述了空频复用多模光纤FWM作用中导波光的光功率演化规律,也适用于单模光纤的情形,其中参数η1—η4计及了空频耦合作用.

根据非简并FWM过程所满足的频率关系ω1+ω2=ω3+ω4,由 (17) 式可知,光波沿光纤传播时P1(z)+P2(z)+P3(z)+P4(z)=P10+P20+P30+P40,即总功率始终保持不变,符合FWM作用过程中能量守恒的条件,一定程度上表明了我们理论推导的正确性.

2.3 相位的解析解表示

由 (4)式可知,导波光的相位与θ(z) 相关,即相位的解析解可以由θ(z) 的解析式推导得到.为简单起见,本文以闲频光的相位φ4为例,将o4和K(θ)分别表示为o4=A+Bq和K(θ)=Cq+Dq2的形式,其中A,B,C,D由 (8)式、(12)式和 (13)式给出.则相位φ4的演化方程为

式中参数a,b,c,d表示如下:

(18)式具有如下通解形式[17]:

类似于闲频光相位解析解的推导过程,也可以得到其他导波光相位的解析表达式.

(20)式—(24)式给出了多模光纤中导波光场相位演化的解析解,尽管形式上与单模光纤的解析解类似,但其中涉及的诸多参量如A,B,C,D以及η1—η4等有所不同.

需指出的是,上述相位的解析解是在θ(z) 单调区间内得到的.事实上,随着光纤长度z的增加,θ(z)的演化具有周期震荡特性,在(10)式符号改变的位置θ(z) 的单调性也发生改变,此时相位解析解出现奇异 (相位跳变).此外,在z=0 的初始位置,由于θ(z)=0,当没有闲频光输入时f(θ)=0,相位的解析解也存在奇异性.因此,需单独分析各单调区间的情况,并考虑θ(z) 周期变化对相位的累积影响,有关相位的完整表示在文献[17]中已有详细的讨论.

3 解析解的验证

下面利用解析解来分析多模光纤中非简并FWM过程,并采用数值方法直接对空频复用FWM耦合模方程(1)式进行求解,来验证上述解析解的正确性.令两个抽运光的频率为f1和f2,探测光为f3,产生的闲频光频率为f4,它们的模场分布对应于两个模群的三个线偏振模 LP01,LP11a和LP11b,具体的模场分布和频率分配如图1所示.结合文献[9,24]给出的少模光纤的参数,选择参考频率f0为 194.81 THz,传输光纤长度为 4.5 km; 简并模 LP11a和 LP11b具有相同的传播常数,差模群时延对应的色散参量为并且假定所有模式具有相同的色散斜率.

对(1)式进行求解,首先要知道导波光场的交叠积分flmnp和相位失配 ∆β.文献[9,24]已给出模场归一化交叠积分的参数flmnp/fLP01,如表1所列,其中fLP01为 LP01模的交叠积分.下面通过优化导波光的频率分布,尽可能满足相位匹配条件∆β≈0.选择参考频率f0=f1,则相位失配因子 ∆β为

图1 非简并FWM过程中导波光的模式与频谱分布Fig.1.Mode and frequency distribution in the non-degenerate FWM process.

根据 (25) 式,可画出相位失配随 ∆f1和 ∆f2变化的情况,如图2 所示.优化频率参数 ∆f1和 ∆f2的取值,可使相位匹配失配 | ∆β| 取到最小.由图2可 知,| ∆β| 对 ∆f2的改变更加敏感.选择 ∆f1=0.13 THz和 ∆f2=0.33 THz,使 | ∆β|=0.则参与FWM 过程的导波光频率为f1=194.81 THz,f2=195.14 THz,f3=194.68 THz,f4=195.27 THz.

根据上述计算参数,用四阶龙格库塔法对(1)式进行数值求解[25],相同参数也代入解析式(15)式—(17)式和(20)式—(24)式,分别得到闲频光的功率和相位随长度z的变化曲线,如图3所示,其中抽运 1的功率为 0.5 W,抽运2的功率为0.35 W,输入探测光功率分别为 0.01,0.05 和 0.1 W.由图3(a)可知,闲频光输出功率的解析解和数值计算结果完全相同,探测光输入功率越大,输出闲频光功率达到饱和所需的光纤长度越短.再结合图3(b)可知,在功率单调变化的区间内,闲频光相位的解析解与数值结果也非常符合,探测光输入功率越大,相位随光纤长度的变化也越大.由图3(b)可知,无闲频光输入时,相位在光纤输入端出现了跳变,计算时闲频光功率取了一个很小的值(如10–10W).实际上,由于噪声的存在,闲频光输入会从噪声中产生,解析解的条件自动得到满足,因此在应用中并不会受到限制.总之,在解析式的适用范围内,本文得到的解析解与数值结果完全一致.

表1 模场的归一化交叠积分参数Table 1.Normalized overlap integral parameters of mode fields.

图2 相位失配因子对 ∆f1 和 ∆f2 的依赖Fig.2.Dependency of phase mismatching factor on ∆f1 and ∆f2.

图3 解析解与数值结果的比较 (a)闲频光功率; (b)闲频光相位Fig.3.Comparison of analytical and numerical results:(a) Idler output power; (b) idler output phase.

上述结果表明,合理设计光纤结构和优化输入参数,少模光纤中仍可发生高效的模间FWM,同时实现模式和波长转换功能.

4 解析分析方法的应用

与数值计算方法相比,解析分析方法更加便捷.本文给出的空频复用FWM解析解适用范围更加广泛,可快速分析少模光纤中的FWM效应,也可以用于拟合模场交叠积分等.下面讨论解析解在多波耦合方程简化、大规模并行相位运算器设计以及快速非线性补偿等方面的新型应用.

4.1 多波耦合项的选择

在级联FWM中,特别是在空频复用多模光纤中,多组FWM过程可能同时发生,需用多波耦合方程组加以描述.每个耦合方程对应一个特定模式和频率的光波,并涉及与其他导波光的FWM耦合项,FWM耦合项数随着导波光数目的增加指数增长,将导致传统分步傅里叶算法的计算效率急剧下降.此时可利用本文给出的解析解计算FWM耦合项的贡献大小并筛选出起主要作用的耦合项,从而简化多波问题的分析和研究.

下面利用本文得到的多模FWM解析解,给出多波耦合项的具体筛选过程.图4(a)是在不同相位失配下,由本文解析式计算得到的转移能量参数θ(z)随光纤长度变化的曲线,可以看出,FWM转移能量的极大值θp与 ∆β密切相关.定义一个相位匹配度参数µ(∆β) 为

式中θp(∆β) 表 示θ(z) 的 极大值是相位失配 ∆β的函数,它不依赖于光纤长度;θmax为完全相位匹配时FWM的最大转移能量[17],即θmax=min(Ppump1/ωpump1,Ppump2/ωpump2).显然,相位匹配度参数描绘了不同相位失配因子下FWM耦合项的贡献大小.利用FWM的解析解,可画出相位匹配度µ随 ∆β的变化曲线,如图4(b)所示.若所计算的FWM耦合项的实际相位失配因子处于µ≥µc的范围,则该FWM耦合项的贡献不能忽略,即保留该耦合项,其中µc为临界值,如可取µc=0.05; 否则该FWM耦合项可忽略,从而达到简化多波FWM耦合方程的目的.

图4 (a) FWM 转移能量在不同相位失配 ∆β 随光纤长度 L 的变化; (b) 相位匹配度 µ 随 ∆β 的变化Fig.4.(a) FWM energy transfer θ (z) of different ∆β with fiber length L; (b) variation of phase matching parameter µwith ∆β.

4.2 多通道相位运算器

由多模光纤解析解的相位关系(20)式可知,对于没有闲频光输入的非相敏情形,输出闲频光相位可为如下形式:

图5 输出闲频光相位 φ4 与输入初相位运算 φ10+φ20−φ30之间的关系Fig.5.Dependence of output idler phase φ4 on the initial phase operation of φ10+φ20− φ30.

图6 输入信号 SNR 与输出信号 SNR 的关系Fig.6.Input signal SNR vs.output signal SNR.

以图1所示的模间FWM过程为例,利用解析解计算少模光纤相位运算器的性能.将三路四进制数字序列调制到频率为的导波光场上,生成QPSK光信号,同时叠加一个零均值的高斯白噪声; 经过少模光纤传输后在频率处产生闲频光,最后由光接收机进行相位解调.输出闲频光的信噪比(SNR)随输入SNR的变化如图6所示,可以看出,输出闲频光的SNR与输入导波光的SNR成正比,该相位运算器会导致约1.6 dB的SNR劣化.

由上述分析可知,利用本文的解析表达式可实现少模光纤中数字相位运算器的设计,以及其他全光数字运算功能[26−31].并且,若将数字运算序列分别调制到几个模式上,利用MDM的FWM过程也能够实现多路全光相位运算,换句话说,通过设计优化少模高非线性光纤的参数,可设计空频域复用系统的多通道相位运算器.

4.3 少模非线性补偿

数字后向传播算法 (digital back propagation,DBP)是目前光通信系统中重要的非线性补偿算法之一[32],它基于分步傅里叶算法反向计算出原始信号,以补偿实际传输中的非线性损伤.将DBP算法直接用于少模光纤系统的计算复杂度会更高[33],我们提出利用FWM解析解的逆运算来对少模传输系统进行非线性补偿的方法,一个算法处理流程如图7所示.首先,通过训练序列得到通信链路的非线性响应,并采用遗传算法或二分法对解析式中的非线性参量进行估计; 然后在实际补偿中,根据解析解对应的逆函数方程,利用不动点迭代法对接收信号运算,得出发送端的幅度信息.最后,采用相似的方式恢复出发送信号的相位,从而实现少模光纤非线性的补偿.

图7 基于 FWM 解析解的非线性补偿框图Fig.7.Block diagram of nonlinear compensation based on the analytic solution for FWM effect.

本文提出的非线性补偿算法适用于空频复用光传输系统,它通过解析解逆函数法对接收到的信号进行反向运算,其解析特性决定了算法本质上是单步运算过程,不会随传输距离的增加提升复杂度,相比DBP基于长度的分步傅里叶迭代计算,具有先天的低复杂度优势.算法的具体实现过程与分析,将会另文发表.

本文在连续波的条件下得到了多模光纤FWM的解析解,连续光模型有助于简化分析过程.例如,在忽略群速色散的条件下,可以采用连续或准连续光来分析脉冲光在少模光纤中的传输特性,也可用于计算通信系统的信噪比等统计性能; 此外,周期性光脉冲可以视为不同频率连续光波的合成,即使存在群速色散,仍可利用上述解析解进行计算分析.值得强调的是,利用FWM的解析解可以有效分析导波光在少模光纤中的非线性幅度和相位转移特性,可为少模多电平全光再生器设计提供理论指导.

5 结 论

详细推导了空频复用系统中非简并FWM闲频光幅度和相位的解析表达式,并通过数值仿真验证了解析解的正确性.讨论了解析分析法的三个新型应用.1)根据FWM的解析解,通过引入相位匹配度参数来筛选级联FWM多波耦合方程的耦合项,为简化空频域多波耦合问题提供了理论方法;2)将解析解和数值计算结果相结合,揭示了非相敏FWM相位运算器的物理本质,解析式为空频复用系统的相位运算器设计提供了理论依据; 3)提出了基于解析解的非线性补偿方法,可用于少模传输系统,与传统DBP算法相比,解析法具有低复杂度的优势.