C-M-C模型在共振转换器线谱消减上的应用

郭正鑫，周瑞平，胡云飞，栾天康

（1.武汉理工大学 船舶动力工程技术交通行业重点实验室，武汉 430063；2.武汉理工大学 能源与动力工程学院，武汉 430063）

船舶推进轴系是一个典型的多阶梯多支撑连续弹性体，螺旋桨在船体艉部不均匀的伴流场中产生的非定常激励力、主机装置产生的径向简谐分力和推进轴系扭转振动产生的纵向分力都会使得推进轴系产生周期性的纵向拉压变形，这种现象称之为推进轴系的纵向振动[1]。这种振动和声辐射以低频为主，其强弱与轴系和壳体的动力学特性密切相关。

轴系纵向振动控制有多种方法，其基本原理都是在推力传递中设置减振结构，利用减振结构的刚度、阻尼来降低传递途径中的纵向振动。就减振技术而言，国内外已进行了多方面的研究。英国吉凯恩（GKN）公司制造了一种折线形轴系，经实船测试发现由螺旋桨激励引起的推进轴系振级降低了50%以上[2]。美国海军20世纪90年代提出了具有较好抗振和抗疲劳性能的复合材料轴系[3]。John[4]设计出了一种新型同轴串联式推力轴承，共有2个油腔，增大了油液阻尼作用，从而使得推进轴系的纵向振动得到衰减。李飘等[5]提出了一种舱壁式推力轴承，虽然有减振效果，然而论文中并没有展示具体的结构形式。由张金国等[6]提出并由王小立[7]改型的新型法兰盘式推力轴承，虽然能有效衰减推力轴承基座振动向船体的传递，但仅停留在仿真分析上。中国舰船研究设计中心的郭全丽等[8]发明了一种碟簧式减振推力轴承，其实际应用尚没有相关文献。杨志荣等[9]提出了一种并联安装在船舶轴系上的纵振动力吸振器的设计方法，虽然进行了详细的理论推导，但没有给出设计结构。卢坤等[10]基于吸振器原理设计出了磁流变弹性体的半主动吸振器，虽然有很好的吸振效果，但其散热方式还需进一步研究。

自20世纪中叶，Goodwin设计了推力轴承纵向减振的共振转换器（Resonance Changer，RC）[11]后，澳大利亚的Dylejko[12-13]和李良伟等[14]都对其进行了参数优化，储炜等[15]等还对其进行了深入的理论推导，但他们都没有给出一种便捷的仿真模型。王珺等[16]虽然在文中提到了RC的简化单元，但没有给出具体示意图和仿真结果图。

本文拟从仿真分析的角度，提出一种C-M-C模型来模拟共振转换器的动力学结构，并基于Goodwin的集中参数模型和根据查阅文献所得的共振转换器实验结果，结合某一具体轴系来验证C-MC模型仿真的正确性。

1 双质量系统与C-M-C模型

1.1 共振转换器的并联模型与双质量系统

共振转换器在理论研究中被等效为质量、刚度和阻尼的并联模型[11]，如图1所示。

图1 共振转换器的等效集中参数模型

这种并联模型的意义在于质量与阻尼和刚度一样具有2个独立、自由的端点。由于位移与加速度反相，在一定频率条件下，质量的惯性力和弹簧的弹性力可以完全抵消，创造动力调谐的条件。

对于单质量系统来说，引入一个额外质量块，就引入了一个可以减振调频的动力学参数。双质量系统相比单质量系统来说，拥有两个共振频率，这就给了用双质量系统来模拟仿真共振转换器调频的手段。

图2左侧为无共振转换器的推进轴系纵振模型，Mp为推进轴系质量，F0ejωt和xp(t)为螺旋桨激励力和推进轴系纵向振动位移，k0和c0为推力轴承刚度和阻尼；

图2右侧为加入共振转换器后等效的双质量系统模型，虚线框中为共振转换器动力学模型，m1为共振转换器内流体质量，F1ejωt和x1(t)为流体质量的受力及振动位移，k1和c1为共振转换器流体的刚度和阻尼。虽然此结构不是质量、刚度和阻尼的并联结构，但质量单元两侧均为刚度单元，质量单元在这个系统中起到谐振作用，拥有动力调谐的条件，故可用来进行模拟。

由图2列出强迫振动方程为

写成矩阵形式

由式(2)可看出，矩阵M、C和K都是对称矩阵，矩阵元素为

因此，可将方程式(2)改写为

设简谐激励

设稳态响应

将式(4)和式(5)代入方程式(3)得

引入记号

于是方程式(6)可以改写为

求出Xp和X1为

由于阻尼只对幅值有影响，而对共振频率无影响，因此，为探究调频关系，令c0=c2=0；由于系统只受到螺旋桨的激励力，因此F1=0。于是式(7)可表示为

这里轴系Mp是调频对象，因此只分析Mp的响应，将式(10)代入到式(9)，令质量比，刚度比，化简得

由于a≪1，因此a+1≈1，令原系统固有频率，进一步化简得

由图3可得，无量纲幅值关于频率比有两处间断点，间断点1处为添加共振转换器后轴系的新共振频率，间断点2处为共振转换器的共振频率。为得到共振转换器的共振频率比，令式(13)中分母为零，而ua≈0，可求得共振频率比为

图3 无量纲幅值响应曲线

1.2 共振转换器的C-M-C模型

共振转换器的质量、刚度和阻尼都具有2个独立、自由的端点，且在共振转换器接入工作后，2个自由端点则同时被附加约束而参与到减振工作中来。其有限元模型如图4所示。

图4 共振转换器C-M-C结构模拟图

该模型在Hypermesh中可用C-M-C（CBUSHMASS-CBUSH）结构来模拟。在图4中，N1为被隔振物体，受到简谐激励力作用；N1、N2之间为原被隔振物体与基座之间刚阻（刚度和阻尼）CBUSH单元（C-M-C中第一个C所指代含义），N2为共振转换器内流体介质质量（C-M-C中M所指代含义），N2、N3之间为共振转换器流体介质刚阻CBUSH单元（CM-C中第二个C所指代含义），N3、N4之间为原被隔振物体与基座之间刚阻CBUSH单元，N4为固定边界或大质量基座。这样，虽然从N2到N3很像动力吸振器结构，但其两端并非自由而是都接入到减振结构中参与减振工作，这与动力吸振器是完全不同的。

1.3 共振转换器的设计方法

结合式(14)，可得原系统固有频率ω0和添加共振转换器后系统固有频率ω的关系如下

基于双自由度系统调频原理和式(15)，可得共振转换器仿真设计的一般步骤：

(1)通过建模仿真或者通过实验确定需要消减的频率ω0，此时推进轴系的质量Mp为已知；

(3)选取合适的质量比u，此时m1也随之确定。根据文献[15] 可得共振转换器的固有频率ω1与原系统固有频率ω0相等；

至此，共振转换器的调频参数设计完成，添加共振转换器后整个隔振系统的新共振频率ω也可得到。若只考虑消减特定线谱或系统只在某一特定频率下工作，则不用考虑阻尼比ξ1的影响。若系统在某一宽频范围内工作，则还需对完成调频参数设计后的共振转换器进行阻尼优化。

2 轴系及共振转换器仿真

2.1 推力轴承三维模型及有限元模型

某船用推力轴承共振转换器[18]的三维模型分装图如图5所示，分为推力轴、后端盖、前端盖、密封盖、轴承壳体和推力块5部分。

图5 共振转换器分装图

纵向载荷由螺旋桨通过推进轴系传递到推力环上，再由推力轴承内的前推力块传递到与其接触的柱塞腔内的柱塞上，推动柱塞运动将载荷作用在连通着的液压油上，实现减振。

选用六柱塞腔共振转换器为模型，在Hypermesh里对其进行有限元网格划分，网格划分完毕后的推力轴承及共振转换器如图6所示。

由于实际推力轴承及共振转换器结构复杂，因此在建模过程中对其进行了很多简化处理。例如推力盘与推力块之间由于油膜刚度特别大，在仅考虑纵向振动的前提下，用胶粘单元area将两者连接起来；后端盖、前端盖和密封盖仅限制了推力轴的垂向和横向位移以及扭转，而没有限制纵向位移和扭转，因此在用rbe2单元约束推力轴和前、后及密封盖时，仅约束dof2、dof3、dof5和dof6，而释放dof1和dof4代表的x向平动和转动自由度；对后端盖、轴承壳体、前端盖以及密封盖之间的螺栓连接，均用rbe2刚性单元连接。

图6 共振转换器有限元模型图

2.2 轴系有限元模型及C-M-C仿真

某轴系结构示意图如图7所示，为从螺旋桨联轴器一端到原动机弹性联轴器一端示意图，轴系基本参数见表1。

图7 某轴系结构示意图

表1 轴系基本参数

轴系由艉轴、推力中间轴、推力减振轴、推力轴和弹性联轴器等组成。总长15.500 m，整个轴系外径为0.280 m，艉轴内径为0.173 m，其余轴段内径为0.165 m。

简化处理后对轴系进行有限元建模，由于螺旋桨脉动推力是通过轴系传到推力轴承，再通过推力轴承传递到船体的，因此，对于轴系来说，船体为刚性边界，也可以当作大质量边界。在有限元建模过程中，对共振转换器壳体前端盖一周螺栓连接处附加大质量点，用CONM2单元来模拟，设每个点附加100 t质量，6个点一共附加600 t质量；弹性联轴器另一端与原动机相连，建模过程中将原动机视作固定端，用spc单元约束其六向自由度；螺旋桨及其附连水用CONM2质量单元模拟，并用rbe2刚性单元耦合到艉轴末端联轴器上；推力轴承刚度和弹性联轴器刚度用CBUSH单元模拟。由于重点关注轴系的纵向振动，而中间轴承对纵向振动无任何约束作用，故在建模过程中略去中间轴承。轴系有限元模型如图8所示。

图8 轴系有限元模型图

对图8所示轴系模型进行模态分析，抛却前6阶刚体模态，计算1 Hz～400 Hz约束模态，挑选出纵向振动模态频率值，将结果统计入表2。

表2 纵向振动频率值

接着进行频率响应计算，在艉轴末端施加螺旋桨推力和正弦激励，计算共振转换器壳体处的轴向加速度频率响应。结果如图9所示。

其结果与模态分析结果完全一致，在1 Hz～400 Hz范围内，该轴系存在4阶纵向振动模态。由于高频的振动及噪声在工程上很容易消除，不容易消除的仅为低频振动，因此对33 Hz的低频线谱进行优化消减工作。

2.3 共振转换器设计及低频线谱消减

根据第1小节末段的设计方法进行共振转换器参数设计。在有限元模型中，测出被减振体也就是除共振转换器以外的轴系质量为Mp=13.736t。

从图9得出需要消减的纵向振动频率f和共振转换器内部流体振动频率f1为f=f1=33Hz。取质量比u=40。

求得共振转换器内部流体质量为

系统的振动频率f和系统自由振动时的圆频率（也即固有频率）ωn存在如下关系式

图9 无RC减振频率响应图

于是求得经共振转换器减振后系统的振动频率为

在Hypermesh中用图4所示C-M-C结构来模拟共振转换器。将式(16)和式(19)所求共振转换器内流体介质质量、刚度值赋予到有限元模型中，视轴系为被减振体，共振转换器壳体为大质量基座，且轴系仅靠共振转换器减振，轴系振动仅通过共振转换器壳体传递到船体。将模型导入到MSC.Nastran中计算加速度频率响应，取共振转换器顶部壳体为响应点，结果如图10所示，局部放大后，如图11所示。

由图11结果可知，无RC减振时存在33 Hz的共振峰，在加了质量比u=40的RC后，原33 Hz共振峰消失，多了5.15 Hz共振峰。此仿真结果与式(18)所求结果完全一致，验证了仿真模型的准确性，也说明按照图4所示的C-M-C结构来模拟质量、刚度、阻尼成并联关系的共振转换器是正确的。

3 仿真结果与宽频减振优化

3.1 有阻尼共振转换器减振

由第2小节可得，在无阻尼条件下，共振转换器将示例轴系的33 Hz低频共振峰消除，使共振峰转移到了5.15 Hz。虽然对轴系纵向振动进行了调频，但新共振峰的加速度响应幅值仍然很大，这是因为调频RC没有附加阻尼的关系。下面对图11所示结果进行加阻尼优化，使得新共振峰5.15 Hz处的加速度响应幅值有所降低。

图10 无阻尼RC减振频率响应图

图11 无阻尼RC减振频率响应局部放大图

直接基于有限元仿真，在质量比u=40的RC基础上，附加阻尼值（单位：N·s/mm）100/500/1000/2000/3000/5000，进行加速度频响计算。结果如图12所示。

由图12可以看出，随着阻尼值增大，调频后5.15 Hz处的峰值逐渐降低；当c增加到2000左右时，33 Hz和5.15 Hz处的峰值几乎都消失，转而在这之间出现一条近乎平坦的曲线；随着阻尼值的继续增大，调频效果消失，重新在33 Hz处出现共振峰，且峰值随着阻尼值增大而升高。这一现象是符合认知的，当阻尼很小时，随着阻尼值增大，对纵向振动起着减振的作用；当阻尼值过大时，刚度效果已不明显，过大的阻尼使得连接呈现刚性连接的效果，共振转换器不再有调频作用。有关阻尼值对减振调频的效果在文献[17] 中有详细的推导说明，这里不再赘述。

继续观察图12所示结果，发现无论怎样调节阻尼值，频率响应曲线始终经过N5、N6两个定点。在质量比u=40条件下，N5处的峰值始终要大于N6处的峰值。为了使共振转换器在一个宽频带范围内都有很好的减振效果，频率响应曲线应从N5到N6呈现单调递减状态，且在N5处为最大值。在u=40条件下，c取值为2000左右都能满足要求。

图12 有阻尼RC减振频率响应图

3.2 变质量比共振转换器减振

由文献[15] 可知，质量比不同，共振转换器的调频效果是不同的，且质量比u越大，调频后的共振频率越低。现基于有限元仿真，对质量比u分别取40/20/10/5/2时的调频效果进行研究，根据式(16)、式(18)和式(19)，求出共振转换器内流体介质质量m1和刚度k1，以及调频后的共振频率f′，将结果统计入表3。此时不考虑阻尼值的影响，仿真结果如图13所示。

从图13可以看出，随着质量比的降低，调频后的共振频率向着高频移动，不动点N5沿着无RC减振曲线向高频偏移，且幅值越来越大。从图中还可以得出，质量比越低，由式(18)所求得的调频后共振频率f'越偏离仿真响应曲线共振峰值频率，这是因为质量比过低时，m1和Mp相差不大，而Mp作为一个长轴系本身就有一定的刚度值，这点与CONM2模拟的RC质量点m1不同，为式(4)误差增大所致。

表3 不同参数下RC调频效果表

图13 无阻尼变质量比RC减振频率响应图

4 仿真结果与实验验证

推力轴承作为轴系纵向振动传递的主要通道，其振动响应水平直接反映轴系纵向振动对船体的二次激励，因此无论是仿真还是实验，都应将测点放在推力轴承壳体上。根据文献[15] 所示共振转换器原理样机，在推力轴承壳体上布置加速度传感器，在轴系艉部进行纵向激励，测试得到有无共振转换器条件下推力轴承加速度频响比较如图14所示。

图14 有无共振转换器条件下推力轴承加速度频响测试结果[15]

从图14可得，在无共振转换器条件下，轴系有150 Hz的共振峰，增加共振转换器后，原150 Hz共振峰消失，转而变成115 Hz和205 Hz共振峰。

根据第1小节的理论推导，要消去150 Hz共振峰，将共振峰转移到115 Hz附近。代入式(18)，类比得

解出u=0.70，再代入式(16)，类比得

再由式(19)，类比得

虽然计算所得共振转换器质量刚度很大，但由于其在设计时动力参数会有放大效应[11]，因此实际质量刚度值可以很小。

图15 有无共振转换器条件下推力轴承加速度频响仿真结果

将以上所求质量m1和刚度k1代入2.2小节所提C-M-C模型中，计算所得频率响应曲线如图15所示。图中无共振转换器时有共振峰150 Hz，增加共振转换器后，原150 Hz共振峰消失，转而变为137 Hz和205 Hz共振峰。相比实验所得结果，高频共振峰频率相同，低频共振峰频率向高频偏移，这点与3.2小节中所提随质量比降低，调频后共振频率向高频偏移一致。同时，实验结果与仿真结果相近，很好地验证了C-M-C模型的准确性。

5 结语

提出了一种基于C-M-C模型的仿真方法来模拟共振转换器质量、刚度和阻尼并联的情况，结果表明：

（1）C-M-C模型能很好地模拟共振转换器的调频减振效果，基于此模型的仿真解与公式推导的理论解能很好地吻合；

（2）C-M-C模型在质量比u过低时并不适用，在质量比u大于2时有很好的模拟效果，且u值越高，模拟结果越接近理论解。

（3）固定u值，调节阻尼值，所得曲线簇恒过定点，且阻尼超过某一定值后，RC不再具有调频效果。此时选择合适的阻尼值，能使RC在某一宽频带范围内都具有很好的减振效果。

船舶轴系纵振减振是船舶减振降噪的主要控制措施之一，本文提出的一种C-M-C模型能很好模拟共振转换器，为舰船轴系纵向调频减振提供一种有效仿真手段。