结合自动控制领域应用背景的常微分方程课程教学的探讨

【摘要】常微分方程是自动控制领域研究的基础知识，具有较强的自动控制应用背景，本文我们将探讨如何将自动控制应用背景融入到常微分方程课程的教学过程，从而激发学生的学习兴趣和学习动力，培养学生将数学理论联系实际应用的能力。

【关键词】常微分方程 自动控制应用背景

【中图分类号】O175.1-4 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2019）32-0031-02

常微分方程是基础数学和应用数学领域的一个重要研究方向，它是自动控制工程领域研究的基础理论。简单地说，自动控制工程领域中研究的被控对象，很多都可以由常微分方程 来描述。这样一来，在实际控制工程中研究被控对象的性能，很多时候就是转化为研究相应的常微分方程的解的性质。目前，常微分方程课程是数学专业和其它一些理工科专业大学生必修的基础课程。虽然常微分方程在自动控制应用领域具有巨大的应用，可是大部分学生并不知道或者所知甚少，尤其是非数学专业的理工科专业学生，可能会觉得常微分方程课程就只是繁琐的数学公式和数学方程的堆积，枯燥無味、晦涩难懂，觉得学了也没什么实际用处，因此会逐渐失去对常微分方程课程的学习兴趣和具有畏惧心理。所以如果任课教师能够在讲授常微分方程知识点的过程中融入自动控制工程应用背景，这样一方面可以培养学生将数学问题与实际工程问题相联系的能力，提高学习兴趣和学习动力，另一方面学生在遇到类似的实际问题的时候，也会想到要用到常微分方程知识来解决问题，从而再次巩固知识和培养学生分析问题和解决问题的能力。

在常微分方程的课堂教学中，重视融入自动控制应用背景，从而形象深入地说明具体常微分方程知识的重要性和应用性。例如，我们以如下带初值的一阶常微分方程来说明：

=ax（t）+u（t），x（t0）=x0， （1）

其中a为常数，t0是初始时刻，x（t0）是初值，u（t）是关于t的连续函数。对于一阶常微分方程（1），其存在唯一解且由常数变易法可知该解可以表示为：

x（t）=e X0+ u（s）dx. （2）

结合自动控制应用背景，该一阶常微分方程可以用来描述工程技术领域中一个控制系统的动力学行为，其中方程的解 x（t）表示该系统的状态，初值表示该系统的初始状态，u（t）表示人为施加到该系统的控制器。

当u（t）≡0时，一阶常微分方程（1）表示系统没有人为施加的力量控制它的运转。此时方程（1）的解可以表示为：

x（t）=e X0 （3）

在控制工程技术中，我们一般要求系统是稳定的，即当时间t趋于无穷时，描述系统的方程的解x（t）趋于0。因此，由方程（3）可以看出，当a<0时，方程的解x（t）会随着时间t趋于无穷而指数衰减到0，此时我们称系统是指数稳定的。但是由方程（3）可以注意到，当a>0时，方程的解x（t）当时间t趋于无穷时会趋于无穷，在实际控制工程技术中，我们不希望看到这种现象发生，因为此时系统是“爆破”的。综上，我们可以发现当系统没有人为施加控制的时候，系数a决定了系统是稳定的还是爆破的。

所以，我们在对实际系统用常微分方程建模时，期待出现的是负的系统系数a，如果出现的是正的系统系数a，我们就需要人为地给系统装上控制器u（t）来强行改变系统的动力学行为。既然u（t）是人为施加的操作，也就是我们要怎样选取都行。因此，针对a>0的情形，我们不妨选取控制器u（t）=-2ax（t）。此时，系统（1）转化为：

=-ax（t），x（t0）=x0， （4）

注意到系统（4）的系统系数是负数，因此系统（4）是指数稳定的。因为系统（4）是系统（1）加了控制器之后产生的系统，在自动控制领域中称这样的系统是闭环系统。因为选取的控制器u（t）是与状态x（t）有关的，在自动控制领域中这样的控制称为状态反馈。

综上所述，在常微分方程的教学中，以自动控制应用为背景引入，让学生们认识到一个简单的一阶常微分方程也会具有丰富的应用背景，所以学习常微分方程并不是枯燥无味，没实际用处的，通过这样的应用背景引入方式能有效地激发和提升学生的学习兴趣和学习动力，培养学生分析、解决工程应用问题和数学问题的能力。

参考文献：

[1]屈红雁，杜润梅，徐文达.把数学建模思想融入常微分方程课程中的探讨[J].数学学习与研究，2017（13）.

[2]吴楚芬.案例分析在常微分方程教学中的应用[J].数学学习与研究，2015（5）：79.

作者简介：

吴泽浩，1988年4月出生，男，博士，讲师，研究方向为随机系统控制理论。